Etudes de fonctions (Terminale S)

[Mar98]

Bonjour , tout le monde alors voilà j'ai un Dm et je bloque sur une question . Voici le sujet :

Considérons la suite f définie par : f(x)= x-1 + racine(-x²+3x+10)
1. Déterminez le domaine définition et l'ensemble dérivabilité de f. (pas de problème )
2. Calculez la dérivée f ' de f . Puis montrez que f' est de même signe que h(x)=2 racine (-x²+3x+10)-2x+3 .(Pas de problème)
3. a. Quel est le signe de h sur ]-2;1.5[ ? (là j'ai dit que c'est positif d'après l’étude de signe de -2x+3 mais je ne sais pas si c'est suffisant comme justification )
b. Pour tout x appartient à ]1.5;5] en utilisant l'une des identité remarquables montrer que h(x) est de même signe que le polynôme P défini par P(x)= -8x²+24x+31 . Et c'est là que je bloque j'ai tout essayé, factorisation de P(x) de h(x) forme canonique propriétés du Polynôme mais ça n'aboutit à rien ... Alors est-ce que pourriez m'aider s'il vous plait ? Au moins à démarrer parce que là je suis complètement dans le brouillard et je ne pas faire la suite du DM sans cette question . :triste:

[annick]

Bonjour,

tu pars de 2 V(-x²+3x+10)-2x+3=0

soit 2V(-x²+3x+10)=2x-3

Tu élèves tout au carré, tu développes ce qu'il y a à développer et tu finis par retrouver l'expression que l'on te donne.

[Mar98]

D'accord merci ! Je vais essayer.

[Mar98]

Mais en quoi ça prouve qu'elles ont le même signe sur cet intervalle ?

[Pierrot73]

Bonjour , tout le monde alors voilà j'ai un Dm et je bloque sur une question . Voici le sujet :
3. a. Quel est le signe de h sur ]-2;1.5[ ? (là j'ai dit que c'est positif d'après l’étude de signe de -2x+3

Bonjour,

Annick t'a donné tous les éléments pour répondre à la question 3b donc je ne reviens pas dessus.

Sur la 3a, il faudrait justifier de la façon suivante :
- la fonction "racine" est définie sur R+ donc y1 = 2*racine(-x²+3x+10) est positive sur son domaine de définition (qui correspond aux valeurs de x pour lesquelles -x²+3x+10 >= 0, soit [-2, 5]).
- de plus, sur l'intervalle ]-2; 1.5[, la fonction y2 = -2x+3 est positive
Conclusion : ta fonction y est la somme de deux fonctions positives sur ]-2; 1.5[ ; elle est donc positive sur ce même intervalle.

Bon courage !

[Pierrot73]

Mais en quoi ça prouve qu'elles ont le même signe sur cet intervalle ?

Nos postes se sont croisés. Je te propose la piste suivante pour la question 3b :

Posons A = 2*racine(-x²+3x+10) et B = 2x+3

Sur ]1.5;5], A et B sont positives donc A+B est positive.

A-B=0 (A-B)(A+B)=0 A²-B² = 0
Tu verras que A²-B² =P(x) ; or, comme A+B est positive, la racine de P(x) ainsi que son signe sur ]1.5;5] seront également ceux de A-B.

[Mar98]

Mais oui, c'est tellement évident merci Pierrot73 !