Etude d'une suite T°S

[gru]

Bonjour.

Mon cauchemar factoriel n'était pas terminé ... Voici la seconde partie du DM, pour le moins énigmatique ...

On considère la suite définie par .

a) Calculer , , , et . (C'est fait).

b) Démontrer que la suite est strictement croissante.
Voici ma réponse: Il s'agit d'une somme de fractions. Comme , les fractions sont positives. La suite est donc croissante, car elle fait la somme d'une fraction positive et du terme précédent. Est-elle correcte? J'avais aussi pensé à un raisonnement par récurrence, mais je n'arrive pas à établir l'hérédité.

c) Le but de cette question est de prouver que est majorée.
i) Démontrer que: . Et là, c'est le néant complet!

[gru]

Ma question est-elle donc si compliquée?

Re-merci par avance ...

[landagama]

b) Il faut remarquer que pour tout entier , . Or donc et la suite ( ) est strictement croissante.
Tu n'as pas besoin d'une récurrence pour cette question !

[gru]

b) Il faut remarquer que pour tout entier , . Or donc et la suite ( ) est strictement croissante.
Tu n'as pas besoin d'une récurrence pour cette question !

Merci landagama.

... vous n'auriez pas par hasard un petit coup de pouce pour la question 3)i/ ?

PS: La question ne s'arrête pas là. Je peux poster la suite si nécessaire. De plus, cet exercice ne représente t'il pas un défi passionnant ?

[landagama]

c) Montre par récurrence que, pour tout entier , on a .
Une fois que tu auras réussi à démontrer cette inégalité, passe à l'inverse puis fais une somme (pour k allant de 1 à n) et enfin ajoute 1 aux deux membres de ton inégalité et tu obtiendras le résultat désiré.
Bon courage !

[gru]

c) Montre par récurrence que, pour tout entier , on a .
Une fois que tu auras réussi à démontrer cette inégalité, passe à l'inverse puis fais une somme (pour k allant de 1 à n) et enfin ajoute 1 aux deux membres de ton inégalité et tu obtiendras le résultat désiré.
Bon courage !

OK merci, je comprends (encore que j'aurais peut être besoin d'aide pour la récurrence (pas encore toutefois ...). Cependant, une fois que j'en serais à l'étape fais une somme, pourrais-je rajouter sigma de chaque côté de l'inégalité sans la changer ou y-a t'il de complexes manipulations entre ?
Merci encore.

[landagama]

Oui tu peux ajouter le sigma de chaque côté de ton inégalité (réfléchis pourquoi?).

[gru]

Oui tu peux ajouter le sigma de chaque côté de ton inégalité (réfléchis pourquoi?).

Parce que des c'est juste pour le terme général, et la somme ne fait qu'accentuer ce résultat. Cependant, ce qui me fait douter est que l'indice k n'a pas la même valeur. Cela n'influence t'il pas ?

Merci.

[landagama]

Tu fais ta somme pour k allant de 1 à n, puis tu ajoutes 1. Alors la somme devient car pour , vaut 1.
Tu comprends mieux ?

[gru]

Tu fais ta somme pour k allant de 1 à n, puis tu ajoutes 1. Alors la somme devient car pour , vaut 1.
Tu comprends mieux ?

Merci beaucoup.

PS: A bientôt chez black bear ...

[gru]

Bonjour, me revoilà.

Je suis totalement bloqué dans l'hérédité de .
Après plusieurs calculs, j'arrive à .

[landagama]

Pour l'hérédité : on suppose qu'il existe un entier tel que .
Alors (car, comme , alors ), tu obtiens donc et l'hérédité est démontrée.