étude de convergnece

[Ossian]

Bonjour,
I)
U0=pi/3
Un+1=sinUn
1° démontrer que pour x>=0 sinx - x OK fait
2° démontrer par récurrence que pour tout n entier Un appartient [0;pi/2]
3° en déduire suite Un converge
4° à l'aide de 1° démontrer f(x)=0 admet unique solution sur [0;pi/2]
5° en déduire lim Un qd n tend vers infini
,

2° RECURRENCE:
1ère étape : facile de justifier que sin(U0) app [0;pi/2]
2ème étape : si pour un certain entier n , on a : Un app [0;pi/2] , Un est positif donc sin(Un) < Un (d'après 1°) d'où Un+1 ....
... on peut ainsi prouver l'hérédité
3ème étape : conclure : pour tout n ...

3°
Que sait-on d'une suite décroissante minorée?

[Elsa_toup]

C'est nickel pour le I) en tout cas !

[Ossian]

II
1° pas de pb avec le signe de Un+1 - Un...
2° comme déjà fait au I:
si la suite converge vers L, alors L solution de L = L²+L...
3° dans ce cas, la suite est strictement croissante
et pour tout n>0: Un>U1>0
donc s'il existe une limite L elle vérifie L > U1
Que doit-on en penser?
4° facile de prouver que -1 < U0 < 0 (signe d'un trinôme)
donc: suite bornée et ...
et c'est fini...