Equations diophantiennes (2)

[GeorgeB]

Bonjour ... il se trouve que j'ai encore des équations diophantiennes à résoudre, alors si vous pouviez m'aider s'il vous plait, ce serait gentil :

1) Résoudre dans N x²+y²+z²-xy=0

2) Montrer que (x²+y²+z²)²=4(x²+y²) ==> x²+y²<4 et résoudre (x²+y²+z²)²=4(x²+y²)

3) On cherche a résoudre dans N x²-y²=2xyz

a- Montrer que PGCD(x,y)=1 ==> x=y=1
b- En supposant que PGCD(x,y) est différent de 1 ;montrer que x=y=d=PGCD(x,y) et z=1
c- conclure

Alors pour la première j'ai cherché a faire :
x y²+z²<0 ===> pas possible


Pour la deuxième , une fois qu'on a fait la première partie ça roule tou seul mais justement j'y arrive pas a montrer l'inégalité :--:

Enfin pour la dernière je vois pas comment faire .

Je vous remercie de votre aide.

PS: Ce n'est pas un DM

PS2: Si quelqu'un sait comment avoir l'équation cartésienne d'un "caténoïde" en conaissant que l'équation (e^x+e^-x)/2 et en faisant une révolution autour de Oz il me fait signe !!

[Dinozzo13]

Salut, quand tu met ==>, il s'agit d'une implication ? Comme si tu mettais : "Si ... alors ..." ?

[Dinozzo13]

b- En supposant que PGCD(x,y) est différent de 1 ;montrer que x=y=d=PGCD(x,y) et z=1

Que représente d ? Le PGCD(x,y) tel que .

[GeorgeB]

oui d c'est le pgcd et puis le ==> c'est une implication

[Zweig]

Salut,

Pour la 1),



Comme x, y et z sont des entiers naturels, cette inégalité n'est vraie que si (x,y,z) sont nuls. On vérifie qur cette solution convient pour l'équation considérée.

[GeorgeB]

merci Zweig !!

( en fait j'avais juste mais j'avais mal fini)

Quelqu'un saurait pour les autre? Je vous remercie à l'avance !

[Ben314]

Pour la deuxième équation, vu que z²>=0, tu as x²+y²+z²>=x²+y² puis, si tu multiplie par (x²+y²+z²) des deux cotés et que tu utilise l'égalité de départ tu tombe sur...

Ensuite, pour ta surface de révolution, si l'équation de départ est
x=(e^z+e^-z)/2 (courbe de "la chainette")
quand tu "fait tourner autour de l'axe Oz", cela revient à remplacer dans l'équation le x (qui est la distance à l'origine pour un réel positif) par racine(x²+y²) (qui est la distance à l'origine dans le plan xOy).

Une équation cartésienne est donc x²+y²=(e^z+e^-z)²/4

[Zweig]

De retour !

L'inégalité à montrer se réécrit :

ce qui est évident ...

EDIT : Grillé

[GeorgeB]

Merci à vous !! J'esayerais de vous faire part de mes avancés demain sur le troisième , meme si j'ai beaucoup de mal !!

Pour la surface de révolution : Je précise que c'est à la base : y=0 et z=(e^x+e^-x)/2 et révolution autour de Oz ; mais c'est toujours pareil ??

[Ben314]

Oui, c'est pareil : tu remplace le |x| (distance à l'origine pour un réel) par racine(x²+y²) (qui est la distance à l'origine dans le plan xOy)
Ton équation étant :
z = (e^x+e^-x)/2 = (e^|x|+e^-|x|)/2
elle devient :
z = [exp(racine(x²+y²))+exp(-racine(x²+y²))]/2
qui n'est pas génial à manipuler...

[GeorgeB]

Merci :)

Mais c'est pas mal confus encore. Meme si je visualise comment je peu justifier exactement.

En plus si on donne une droite au lieu de cette courbbe d'équation; on a un cône et j'ai dû procédé autrement.

Merci :we:

[GeorgeB]

Vraiment je ne trouve rien pour la 3 , est-ce que qu'elqu'un pourait me dire comment procéder pour la a ? Merci.

[Ben314]

3) On cherche a résoudre dans N x²-y²=2xyz

a- Montrer que PGCD(x,y)=1 ==> x=y=1
b- En supposant que PGCD(x,y) est différent de 1 ;montrer que x=y=d=PGCD(x,y) et z=1
c- conclure

a- On suppose x différent de 1. Soit p un nombre premier divisant x.
p doit diviser y²=x(x-2yz) donc aussi y donc aussi pgcd(x,y)...
Idem si y différent de 1

b- Posons d=pgcd(x,y). On a donc x=dx' et y=dy' où pgcd(x',y')=1.
L'équation x²-y²=2xyz devient...
(et il y a une erreur dans l'énoncé, vu que, si x=y (non nul), il est clair que z=0)

[GeorgeB]

merci beaucoup ben ! Effectivement il fevait y avoir une coquille dans l'énoncé, meri !!