équations diophantiennes

[arafrogala]

bonjour

j'ai un dm a faire pour ma spé maths mais je suis bloqué pourrais-je avoir de l'aide SVP ?

INTRODUCTION
On considère l'équation ax+by=c
avec a,b et c des nombres entiers relatifs.
les inconnues sont x et y à trouver dans Z, une telle équation est dite DIOPHANTIENNE


PARTIE A
soit l'équation diophantienne au+bv=g où g est le PGCD de a et b, les inconnues étant u et v.
1) on suppose trouvée une solution particulière(u0;v0) de l'équation au+bv=g
On note (u,v) une autre solution de cette équation et on pose a'=a/g et b'=b/g
Justifiez l'égalité a'(u-u0)+b'(v-v0)=0 puis avec le théorème de Gauss montrer qu'il exite un entier relatif k tel que v-v0=ka'
en déduire que u=u0-kb' et v=v0+ka'

2) Réciproquement, prouvez que si u=u0-kb' et v=v0+ka' avec k entier relatif alors au+bv=g


PARTIE B
on suppose maintenant que c est un entier quelconque, a et b sont des entiers donnés strictement positifs.
1) prouvez que si c n'est pas un multiple du PGCD de a et b, alors l'équation ax+by=c est sans solution dans Z²
2) on suppose que c est un multiple du PGCD de a et de b, soit c=qg
résolvez alors l'équation ax+by=c en utilisant la partie A

j'ai réussi a faire le 1 du A mais franchement je suis vraiment bloqué j'ai fait des choses mais ça ne marche pas du tout

Merci de m'ainder SVP

[becirj]

Bonjour

A.2 Dans au+bv, remplace u et v par leurs expressions.
N'oublie pas que est solution donc , d'autre part et

B.1 Quels que soient les entiers x et y , le PGCD de a et b divise ax+by donc pour que l'équation admette des solutions, il faut que c soit divisible par le PGCD de a et b.