Equations diophantiennes et géométrie spé TS

[bgirlfunky]

Bonjour à tous !
Voila, alors j'ai un exercice en spécialité maths dans lequel j'ai quelques problèmes.
Voici cet exercice:

Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O;i;j), on donne le point A(12;18).
On désigne par B un point de l'axe (O;i) et par C, un point de l'axe (O;j) tel que l'angle (vect.AB;vect.AC) = -pi/2.
On appelle x l'abscisse du point B et y l'ordonnée du point C.

1)Démontrer que le couple (x;y) est solution de l'équation (E) 2x +3y=78.
Je l'ai déjà faite. j'ai utilisé le fait que ABC est rectangle en A donc que AB²+AC²= BC², j'ai ensuite utilisé leur abscisse et j'ai réussi à montrer que (x;y) était bien une solution de (E).

2)On se propose de trouver tous les couples (B;C) de points ayant pour coordonnées des entiers relatifs.
a)Montrer que l'on est ramené à l'équation (E), avec x et y appartenant à l'ensemble Z des entiers relatifs.
C'est pour cette question que j'ai un problème, je ne comprends pas vraiment ce qu'on me demande.
Pouvez vous m'aider SVP ? merci. :id:

[Flodelarab]

c nul comme question. Il faut juste confirmer que tu as bien compris que dorénavant, x et y ne pourront etre qu'entiers ...

[flight]

Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O;i;j), on donne le point A(12;18).
On désigne par B un point de l'axe (O;i) et par C, un point de l'axe (O;j) tel que l'angle (vect.AB;vect.AC) = -pi/2.
On appelle x l'abscisse du point B et y l'ordonnée du point C.


en exprimant que le produit scalaire de AB et AC est nul puisqu'ils sont perpendiculaires, on a AB.AC=0

soit -12(x-12)-18y+18²=0 soit -12x-18y=-468

en divisant cette égalité par 6 on obtient : -2x-3y=-78 ou 2x+3y=78

ensuite il suffit d'appliquer le theoreme de bezout :

78 est multiple du pgcd(2,3) =1

on peut écrire que 3=2.1+1 soit 3+2(-1)=1

soit 3(78)+2(-78)= 78 les solutions particulières sont

Uo=78 et Vo=-78 les solutions generales seront de la forme

U=Uo+ak et V=Vo+bk avec k appartenant à Z

soit 3(Uo+ak)+2(Vo+bk)=78 il reste 3ak=-2bk soit 3a=-2b

il suffit de prendre a=2 et b=-3

soit U=78+2k et V=-78-3k sont les solutions de 2x+3y=78.

[flight]

..... petite bourde ! remplacer U par X et V par Y ..

[bgirlfunky]

Ok merci beaucoup. :we: