DM de Spé Math / Equations Diophantiennes

[Wormsy]

Bonjour,

Notre prof de spé maths nous à filé un sujet du Bac 99 comme devoir maison, dont l'énoncé est celui ci :

"Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O,i,j) , on donne le point A(12;18). On désigne par B un point de l’axe (O,i) et par C un point de l’axe (O,j) tels que :

On appelle x l’abscisse de B et y l’ordonnée de C.

1. Démontrer que le couple (x ; y) est solution de l’équation (E) :

2x + 3y = 78. (1 point)

2. On se propose de trouver tous les couples (B, C) de points ayant pour coordonnées des nombres entiers relatifs.

2. a. Montrer que l’on est ramené à l’équation (E), avec x et y appartenant à l’ensemble des nombres entiers relatifs. (1 point)

2. b. À partir de la définition de B et C, trouver une solution particulière (x0 ; y0) de (E) avec x0 et y0 appartenant à . (1 point)

2. c. Démontrer qu’un couple (x ; y) d’entiers relatifs est solution de l’équation (E) si, et seulement si, il est de la forme (12+3k ; 18-2k), où k appartient à . (1 point)

2. d. Combien y a-t-il de couples de points (B, C) ayant pour coordonnées des nombres entiers relatifs, tels que :

- 6 <= x <= 21 et - 5 <= y <= 14 ? (1 point)"

Un sujet assez difficile ma foi, mais ce n'est pas le problème puisqu'il y'a des corrections partout sur le net ( :we: )

Mon problème se situe donc dans la correction même de l'exercice à la question 2a. Pour information, voici la correction de la dite question :

http://www.schoolangels.be/math/bac99/SCMJ9/SCMAGJ92S.htm#Question2a

Ce que je ne comprends pas, c'est ca : Pour qu'un complexe soit nul, il faut et il suffit que partie réelle et imaginaire soient nulles.

Je n'ai jamais fait les nombres complexes (pas pour l'instant du moins) du coup la correction me semble un peu ... incompréhensible. Et il va de soi que je ne peux pas décemment recopier un corrigé que je ne comprends pas, d'où mon post ici même.

J'aimerais donc savoir s'il existe une méthode alternative afin de résoudre cette équation ou si quelqu'un pouvait brièvement me renseigner à propos de ce qu'il faut savoir pour comprendre l'énoncé ?

Merci d'avance

[Huppasacee]

Bonjour

il faut consulter le corrigé pour avoir l'énoncé complet ?

Condition sur AB et AC : ils doivent être perpendiculaires.

Cela dit, pas besoin de (re) faire tout le développement ( disons que c'est une troisième méthode pour la question 1 ).
Il a été vu à la première question que si BAC est un triangle rectangle, alors x et y doivent vérifier l'égalité (E)
Si , de plus x et y doivent être des entiers relatifs,

ce seront des entiers relatifs solutions de l'équation (E)