Equations diophantiennes

[GeorgeB]

Bonjour !

J'ai encore des problèmes avec des équations diophantiennes.

Je n'ai aucune idée .. Les voici :


1) Trouver tous les couples (x,y) appartenant à N² tels que 5x²+y²=4500

2) Résoudre dans l'équation


Merci bien

[benekire2]

Salut !

Je suis loin d'être une lumière en arithmétique, mais je te propose une solution un peu bourrine ( il doit y avoir mieux ) pour la première :

remarque que 5x²+y²=4500 <=> y²=5(900-x²) d'où 5|y et donc y=5Y et donc on a x²+5Y²=900 et on refait pareil pour trouver x=5X et on en tire 5X²+Y²=180 d'où Y²=5(6-X)(6+X) et donc comme 5|X² 5|X et donc 25|X et en remarquant que X<6 on conclu facilement car soit 5|6-X soit 5|6+X , je te laisse la joie de finir :zen:

[Nightmare]

Bonjour !

J'ai encore des problèmes avec des équations diophantiennes.

Je n'ai aucune idée .. Les voici :


1) Trouver tous les couples (x,y) appartenant à N² tels que 5x²+y²=4500

2) Résoudre dans l'équation


Merci bien

Salut !

Pour la 1), je pense que la methode attendue est de poser X=x^2 et Y=y^2, resoudre l'equation diophantienne associee usuelle puis etudier les solutions qui sont des carres parfaits

[benekire2]

Salut nightmare !

Tu crois que ça marche là dessus ? Après on se retrouve avec des équations du genre a+bk=c² ; chaud non ? [J'avais bien entendu fait l'exercice moi même avant]

[benekire2]

en réfléchissant à l'autre réécrit x²+xy+y²=x²y²z puis xy+y²=x²y²z-x² et continue ... avec la divisibilité comme dans le premier.

La par contre je suis pas sur que ça aille au bout ! Aussi tu peut remarquer que x et y jouent les même rôles.

[Ben314]

Pour la 2), on peut s'en sortir par des encadrement pour montrer que x et y doivent être assez petit, mais c'est pas trés joli...

Sinon, l'équation de départ s'écrit :
y²+xy+x²=zx²y² avec x et y non nuls
et il peut venir à l'esprit de considérer d=pgcd(x,y) : on a alors x=da , y=db avec pgcd(a,b)=1 et l'équation devient (en divisant par d²) :
b²+ab+a²=zd²a²b²
donc b²=a(zd²ab²-b-a) d'où a divise b² ce qui, comme pgcd(a,b)=1 n'est possible que si a=+-1. Par symétrie on a aussi b=+-1 et cela prouve que x=+-y...

[benekire2]

Joli ben :zen: Moi je partais sur x divise y² .. et j'allais me foutre dans un bordel pas possible !!

[Ben314]

Si ça t'amuse, avec des inégalités je trouve en quelques lignes que :
(|x|-1)(|y|-1) < 1
Ce qui ne donne pas gras de possibilités...