Equation trigo

[Proriko]

Bonsoir pourriez vous m'aider pour résoudre dans R l"équation 2(sin x)²-cos x -1 = 0

Merci

[Proriko]

Alors ? .... Je compte aller dormir mais j'aimerais des explications car c'est un travail assez urgent s'il vous plait....

[Lostounet]

Tu sais que (cos x)² + (sin x)² = 1, donc (sin x)² = 1 - (cos x)²

Ton équa devient 2 - 2(cos x)² - cos x - 1 = 0

Puis tu poses X = cos (x) avec X compris entre -1 et 1. Après, c'est une équation classique du second degré :)

[Proriko]

J'ai du mal à comprendre comment on passe à 2 - 2(cos x)² - cos x -1 = 0

[Proriko]

Alors ? pouvez - vous m'éclairer ?

[Proriko]

Est ce que 2(cos x)² + 2(sin x)² = 2 donc 2-2(cos x)²=2(sin x )²?

[Proriko]

Donc 2 - 2(cos x)² - cos x - 1 = 0

ainsi 2-2X²-X-1 = -2X²-X+1 ?

[Proriko]

En tout cas x1=1/2 et x2=-1 mais pour la suite je ne sais comment faire

[Robic]

Proriko : quand tu as une équation mélangeant des cos(x) et des sin(x), c'est pas pratique : il faut trouver un moyen de transformer le cos en sin (ou le contraire). Ce moyen, c'est les formules trigonométriques. La plus connue, c'est cos²+sin²=1. Donc dans une équation avec des cos² et des sin², on transforme tous les cos² en sin² (avec cos²=1-sin²) ou le contraire (mais il faut choisir). C'est cette méthode qui doit être employée ici et tu dois absolument le savoir.

Donc reprenons :
- Équation de départ : 2(sin x)²-cos x -1 = 0
- Ah ben oui mais non : ça mélange les sinus et les cosinus, c'est pas pratique !
- Méthode (à savoir absolument) : on remplace (sin x)² par 1-(cos x)². Cette égalité vient de la formule (cos x)²+(sin x)² = 1 (interdit de ne pas la connaître).
- Du coup ça donne : 2[1-(cos x)²]-cos x -1 = 0, c'est-à-dire (après quelques calculs) 2(cos x)²+cos x-1 = 0.
- La suite dans le message de Lostounet.
- Donc en effet si on pose X = cos x, ça revient à résoudre 2X²+X-1 = 0 dont les solutions sont -1 et 1/2.
- Il reste à revenir à la variable x. On savait que cos x = X et on a vu que X = -1 ou X = 1/2. Donc cos x = -1 ou cos x = 1/2. Or tu sais quels sont les x dont le cosinus fait -1, et les x dont le cosinus fait 1/2. Ces x sont les solutions de l'équation de départ.

(Tu n'as pas vu en cours des exercices de ce type ? Si oui, commence par les revoir avant d'en faire de nouveaux, sinon tu perds du temps.)

[Proriko]

Oui j'avais compris mais on peut directement faire 2cos(x)²+2sin(x)=2 ?
Et passer directement à 2 - 2(cos x)² - cos x - 1 ( car 2-2cos(x)² = 2sin(x)² )

[Robic]

Oui, c'est une façon équivalente de n'avoir que des cos x.

De toute façon, du moment que c'est juste et que ça mène à la solution, tu fais comme tu veux.

[Proriko]

Donc après la résolution je trouve x1=1/2 et x2=-1 mais ensuite comment je prouve la suite?

[Proriko]

Donc S=[pie/3 + (2pie*k) ; pie + (2pie*k) ] ?

[Proriko]

Alors ? c'est ça ?

[Proriko]

Oui donc , vous en pensez quoi de la solution?

[Robic]

Sir [0 ; 2 Pi], l'équation cos x = -1 admet comme solution Pi, donc sur R, ça donne Pi + 2kPi. Là tu as juste. Par contre, l'équation cos x = 1/2 admet deux solutions sur [0 ; 2 Pi]. L'une des solutions est Pi/3, donc sur R ça donne effectivement Pi/3 + 2kPi. Mais il y en a une autre. Pour la trouver, tu peux faire un dessin avec le cercle trigonométrique...

[Proriko]

Oui -pie/3 soit 5pie/3 donc : les solutions sont : [pie/3 + (2pie*k) ; pie + (2pie*k) ; 5pie/3 + (2pie*k)]

[Robic]

C'est parfait ! :id:

[Proriko]

Merci beaucoup d'avoir pris la peine de m'aider pour cette exercice !