DM Équation du second degré

[Sarah-D38]

Bonjour
J'ai commencer a réfléchir a la première question mais je bloque et pour pouvoir faire les autre question il me faut la réponse du 1 es ce que vous pourriez me dire la ou je me suis tromper ou comment faire (la démarche)
Voici l’énonce :

On considere la parabole P d'équation :
y = dans un repère orthogonal (O ; ; ) d’unités 2 cm en abscisses et 05 cm en ordonnées. Faire une figure. Dans tout ce qui suit, toutes les démonstrations sont bien sûr à faire par le calcul !

1. Montrer qu'il existe un seul réel p, que l'on déterminera, tel que P et la droite d'équation
y= 4x + p aient un seul point commun. Tracer la droite correspondante.

2. Déterminer, suivant la valeur du réel c, le nombre de points d'intersection de P avec la droite d'équation y=c. Si elle(s) existe(nt), tracer la (ou les) droite(s) correspondant à un seul point d'intersection.

3. Montrer qu'il existe un sel réel m tel que la droite d'équation y= mx et P aient un seul point commun. Tracer la droite correspondante. Que se passe-t-il pour les autres valeurs de m ? Justifier

Merci de m'aider (je vous écrirez demain la suite du DM et le début de mes recherche)

Voila la suite du DM

4. On considère le point A(1 ; -2)
a) Démontrer que, pour tout réel s, la droite d'équation réduite y= sx - s - 2 passe par le pont A.
b) Démontrer que pour toute droite coupe P en deux points distincts.
c) Existe-t-il une droite passant par A et coupant P en un seul point ? Justifier.

5. On considère le point B(0 ; 2), et la droite passant par B et de coefficient directeur t .
a) Déterminer, en fonction du paramètre t, l'équation réduite de .
b) Pour quelles valeurs de t la droite ne coupe-t-elle pas P ?
c) Si elle(s) existe(nt), tracer la (ou les) droites coupant P en un seul point .

Voici ce que j'ai fait au debut :

=
-2x^2 + 8x = 4x + p
-2x^2 + 4x - p = 0

Puis je voulais calculer le determinant avec la forme que j'ai trouver au dessus :

- 4 x (-2) x (-p)
= 16 - 8p

mais après je ne sais pas comment faire pour trouvé le p car si j'ai pas p je ne peut pas calculer les x

Merci a tous ceux qui m'aiderons

[Waax22951]

Bonjour,
Je n'ai regardé que pour la première question, mais je pense pouvoir t'aider ^^
Tu sais que pour trouver le(s) point(s) d’intersection de deux courbes, tu dois résoudre le système d'équation avec les équations des deux courbes. Pour simplifier, on va juste s'occuper de l'équation qui nous intéresse (puisque les coordonnées ne sont pas demandées). Tu obtiens donc et donc .
Quand est-ce que cette équation a-t-elle qu'une seule solution ?

La bonne journée ! :zen:

[Sarah-D38]

Bonjour,
Je n'ai regardé que pour la première question, mais je pense pouvoir t'aider ^^
Tu sais que pour trouver le(s) point(s) d’intersection de deux courbes, tu dois résoudre le système d'équation avec les équations des deux courbes. Pour simplifier, on va juste s'occuper de l'équation qui nous intéresse (puisque les coordonnées ne sont pas demandées). Tu obtiens donc et donc .
Quand est-ce que cette équation a-t-elle qu'une seule solution ?

La bonne journée ! :zen:

C'est quand delta est égale a zéro ??
(le discriminant)
Merci d'avoir répondu

[Sarah-D38]

Bonjour,
Je n'ai regardé que pour la première question, mais je pense pouvoir t'aider ^^
Tu sais que pour trouver le(s) point(s) d’intersection de deux courbes, tu dois résoudre le système d'équation avec les équations des deux courbes. Pour simplifier, on va juste s'occuper de l'équation qui nous intéresse (puisque les coordonnées ne sont pas demandées). Tu obtiens donc et donc .
Quand est-ce que cette équation a-t-elle qu'une seule solution ?

La bonne journée ! :zen:

Je crois que j'ai compris je dois calculer le = 0
donc sa veut dire que 16 - 8p = 0
alors -8p =-16
p=-16/-8
donc p est égale a 2

alors = -b/2a
-4/2*(-2)
-4/-4
1
donc la droite la droite et la parabole P se croisent sur le point

Pouvez vous me dire si c'est juste ??
Merci a tous ceux qui m'aideront au revoir

[Waax22951]

C'est ça :lol3:
Un conseil : Pour ce genre d'exercices, vérifie avec Géogébra en faisant les deux courbes et en regardant les points d'intersection, comme ça, tu vois si ça colle :lol3:
Pour conclure, c'est mieux de dire que la courbe d'équation et la droite d'équation se coupent en un point pour p=2, mais après c'est chipoter ^^'
Si tu veux mettre les coordonnées du point, tu peux remplacer x par 1 dans y=4x+2 pour obtenir l'ordonnée (ou alors tu fais un système dès le départ mais c'est plus long ^^). C'est pas demandé, mais je te dis ça parce que, perso, je n'y avais pas pensé avant qu'on me le dise
Qu'est-ce que tu ne comprends pas d'autre ? :we:

La bonne journée ! :zen:

[Sarah-D38]

C'est ça :lol3:
Un conseil : Pour ce genre d'exercices, vérifie avec Géogébra en faisant les deux courbes et en regardant les points d'intersection, comme ça, tu vois si ça colle :lol3:
Pour conclure, c'est mieux de dire que la courbe d'équation et la droite d'équation se coupent en un point pour p=2, mais après c'est chipoter ^^'
Si tu veux mettre les coordonnées du point, tu peux remplacer x par 1 dans y=4x+2 pour obtenir l'ordonnée (ou alors tu fais un système dès le départ mais c'est plus long ^^). C'est pas demandé, mais je te dis ça parce que, perso, je n'y avais pas pensé avant qu'on me le dise
Qu'est-ce que tu ne comprends pas d'autre ? :we:

La bonne journée ! :zen:

Merci c'est très gentil J'aurais une autre question pour la quest 2)
Il faut que je trouve c qui est une ligne droite mais comme il y a que y= c donc comment je fait pour trouver le point d'intersection entre la parabole P et la droite Vu que la je ne peut pas calculer le discriminant ??

Encore merci pour ton aide

[Sarah-D38]

Pour conclure, c'est mieux de dire que la courbe d'équation et la droite d'équation se coupent en un point pour p=2, mais après c'est chipoter ^^'

La bonne journée ! :zen:

J'aurais une question encore dans cette phrase de conclusion comment on dit que l'intersection des deux droite se coupent en 1 car la on dit qu'il se coupent en un point pour p=2
Es ce que je dis
la courbe d'équation et la droite d'équation se coupent en x=1 pour p=2
es ce que c'est bien expliquer ??
Encore merci

[Waax22951]

Je suis vraiment pas un exemple en présentation mais j'aurais mis un truc du genre :
(tu fais te démonstration et tu trouves ton )
Pour et , .
Donc la courbe d'équation et la droite d'équation se coupent en un unique point de coordonnées (1; 6) pour p=2.

[Sarah-D38]

Je suis vraiment pas un exemple en présentation mais j'aurais mis un truc du genre :
(tu fais te démonstration et tu trouves ton )
Pour et , .
Donc la courbe d'équation et la droite d'équation se coupent en un unique point de coordonnées (1; 6) pour p=2.

merci c'est tres gentil de m'avoir aider
Es ce que vous pouvez me dire comment savoir pour calculer c dans la question 2
Merci d'avance

[siger]

bonsoir

sarah-D38, as-tu vu les derivees d'une fonction et leur proprietes?

au point de vue redaction : les courbes qui. "se coupent en un point unique" n'est pas forcement tres bon
il me semble qu'il vaudrait mieux :
les courbe f et y = 4x + 2 ont un seul point commun de coordonnees ...
ou
la droite y = 4x + 2 est tangente a la courbe ... au point de coordonnees ....

[Sarah-D38]

Merci c'est très gentil J'aurais une autre question pour la quest 2)
Il faut que je trouve c qui est une ligne droite mais comme il y a que y= c donc comment je fait pour trouver le point d'intersection entre la parabole P et la droite Vu que la je ne peut pas calculer le discriminant ??

Encore merci pour ton aide

Voici la question plus precisement
Je pensé faire le sommet de la parabole pour trouver le point d'intersection entre la droite et P
Donc sa donne sa
a<0 ; donc son maximum atteint
en x = -b/2a
=-8/2 x (-2)
=-8/-4
=2
donc x= 2
alors pour y=
=-2 x 2^2 +8 x 2
=-2 x 4 + 16
=-8 + 16
=8
Donc y = 8 alors le sommet de la parabole P a pour coordonnée (2 ; 8)
Donc la droite qui a pour équation y = c donc y=8 donc c = 8 mais je n'en suis pas sure

Merci encore pour votre aide

[Sarah-D38]

bonsoir

sarah-D38, as-tu vu les derivees d'une fonction et leur proprietes?

au point de vue redaction : les courbes qui. "se coupent en un point unique" n'est pas forcement tres bon
il me semble qu'il vaudrait mieux :
les courbe f et y = 4x + 2 ont un seul point commun de coordonnees ...
ou
la droite y = 4x + 2 est tangente a la courbe ... au point de coordonnees ....

Non ne nous avons pas encore vu sa

[Waax22951]

au point de vue redaction : les courbes qui. "se coupent en un point unique" n'est pas forcement tres bon
il me semble qu'il vaudrait mieux :
les courbe f et y = 4x + 2 ont un seul point commun de coordonnees ...
ou
la droite y = 4x + 2 est tangente a la courbe ... au point de coordonnees ....

C'est toujours bon à savoir :lol3:

[siger]

re

pour la question 2
meme raisonnement
le nombre de point d'intersection est egal au nombre de racines de y = c
ou y= -2x^2 + 8 - c = 0
donc au signe de delta en fonction de c

( au sommet il;)y aura qu'un point de contact, effectivement pour y = 8)

[Sarah-D38]

re

pour la question 2
meme raisonnement
le nombre de point d'intersection est egal au nombre de racines de y = c
ou y= -2x^2 + 8 - c = 0
donc au signe de delta en fonction de c

( au sommet il;)y aura qu'un point de contact, effectivement pour y = 8)

Merci je vais essayer

[Sarah-D38]

re

pour la question 2
meme raisonnement
le nombre de point d'intersection est egal au nombre de racines de y = c
ou y= -2x^2 + 8 - c = 0
donc au signe de delta en fonction de c

( au sommet il;)y aura qu'un point de contact, effectivement pour y = 8)

Voila ce que j'ai trouver
=
-2x^2 + 8x = c
-2x^2 + 8x - c = 0

donc = b^2 - 4ac
=8^2- 4 x (-2) x (-c)
=64 + 8 x (-c)
=64 - 8c
Comme il y a qu'un point d'intersection alors = 0
donc 64 - 8c = 0
-8c = -64
c = -64/-8
c = 8 donc = -b/ 2a
= -8/2 x (-2)
= -8/-4
= 2
alors pour x=2 y=-2x 2^2 + 8 x 2
= -2 x 4 + 16
= -8 + 16
= 8
La courbe d'équation y = -2x^2 + 8x et la droite d'équation y = c on un seul point commun de coordonnée (2 ; 8) pour c = 8

Merci de me dire si je me suis tromper

[Sarah-D38]

Re bonjour
C'est pour vous demandez pour la question 3 il faut aussi que je calcule delta pour trouver m mais il y a pas c comment faire pour calculer m et x vu que m n'est pas c

[siger]

Re bonjour
C'est pour vous demandez pour la question 3 il faut aussi que je calcule delta pour trouver m mais il y a pas c comment faire pour calculer m et x vu que m n'est pas c

Tu as mal lu la question 2.
On ne te demande pas la valeur de c pour laquelle Gamma(c) est tangente a P, mais le NOMBRE de points d'intersection de Gamma(c) et de P en fonction de c.
y = -2x² + 8x = c ou 2x² - 8x + c = 0
d'ou
2 racines donc 2 points d'intersection si delta >0, c'est a dire si c ....
1 point de contact si c=8 (comme tu l'as vu)
0 point d'intersection si c ....

question 3
les point d'intersection de P et de lambda(m) sont donnés par y = mx = -2x² + 8x ou 2x² +(m-8)x = 0
soit encore x*(2x+m-8) = 0
cette equation a 2 racines x1 = 0 et x2 = 4-m/2
si il n'y a qu'un seul point de contact les deux valeurs x1 et x2 doivent etre egales, d'ou x2 = 0 et m = 8
pour m different de 8, il y a deux points d'ntersection dont l'origine O(0,0)
toutes les droites lambda(m) passent donc par O ......

[Sarah-D38]

Tu as mal lu la question 2.
On ne te demande pas la valeur de c pour laquelle Gamma(c) est tangente a P, mais le NOMBRE de points d'intersection de Gamma(c) et de P en fonction de c.
y = -2x² + 8x = c ou 2x² - 8x + c = 0
d'ou
2 racines donc 2 points d'intersection si delta >0, c'est a dire si c ....
1 point de contact si c=8 (comme tu l'as vu)
0 point d'intersection si c ....

question 3
les point d'intersection de P et de lambda(m) sont donnés par y = mx = -2x² + 8x ou 2x² +(m-8)x = 0
soit encore x*(2x+m-8) = 0
cette equation a 2 racines x1 = 0 et x2 = 4-m/2
si il n'y a qu'un seul point de contact les deux valeurs x1 et x2 doivent etre egales, d'ou x2 = 0 et m = 8
pour m different de 8, il y a deux points d'ntersection dont l'origine O(0,0)
toutes les droites lambda(m) passent donc par O ......

Re Je crois que j'ai compris (la question 2 j'ai réussis et encore merci)
La question 3 : En faite je dois dire que
=
-2^2 + 8x = mx
-2^2 + (8 - m)x 0

Alors le = b^2 - 4ac
= (8 - m)^2 - 4 x (-2) x 0
= (8 - m)^2

Comme il existe un seul réel m tel que la droite et P aient un seul point commun Il faut que
(8 - m)^2 = 0
alors m doit être égale a -8
Pour les autres valeurs de m > 0 car c'est un carré est qu'un carré est toujour positif donc il admettre deux solution

Es ce que c'est possible de dire sa ??
Encore merci beaucoup

[siger]

re

OK, sauf m = 8 et non -8

attention tu travailles sur des courbes donc si l' equation a deux solutions la reponse a la question posée est : si m est different de 8, il y a deux intersections


( remrque : j'ai utilisé une autre methode car personellement je suis toujours géné d'utiliser delta pour une equation dans laquelle c= 0
heureusement le resultat est le même!)