équation partie entière

par **Dinozzo13** » 07 Mai 2010, 21:58

Bonsoir, j'aimerai savoir comment résoudre une équation avec une partie entière du genre

Peut-on résoudre ce genre d'équation dans

?

par **Ben314** » 07 Mai 2010, 22:50

Ben, vu que E(x)=m signifie (par définition) que m <= x < m+1, résoudre une telle équation, ça revient à résoudre deux inéquations.

Comme la définition de la partie entière contient la notion de relation d'ordre (le <= et le <) et qu'il n'y a pas de "bonne" relation d'ordre sur l'ensemble des complexe, ben on peut pas trop définir "proprement" la notion de partie entière d'un complexe...

par **Dinozzo13** » 07 Mai 2010, 23:06

Je résume la discussion étant donné que je l'ai déplacée suite à une erreur de rubrique ^^

Dinozzo13 a écrit:Bonsoir, j'aimerai savoir comment résoudre une équation avec une partie entière du genre
Peut-on résoudre ce genre d'équation dans ?

Ben314 a écrit:Ben, vu que E(x)=m signifie (par définition) que m <= x < m+1, résoudre une telle équation, ça revient à résoudre deux inéquations.

Comme la définition de la partie entière contient la notion de relation d'ordre (le <= et le <) et qu'il n'y a pas de "bonne" relation d'ordre sur l'ensemble des complexe, ben on peut pas trop définir "proprement" la notion de partie entière d'un complexe...

.

par **Dinozzo13** » 07 Mai 2010, 23:10

Mince je me suis trompé de rubrique, je déplace donc la discussion :
http://maths-forum.com/showthread.php?p=681193#post681193

par **Dinozzo13** » 07 Mai 2010, 23:17

Dans ce cas, prenons un exemple, arrangeant (bien entendu ^^) :
Si je souhaite résoudre

.
Je pose

et je résous

.
Les racines de ce trinôme étant

et

, je résous alors

et

ce qui équivaut à résoudre :

et

.
Ai-je bon ?

par **Arnaud-29-31** » 07 Mai 2010, 23:23

Oui ... Si ta fonction polynomiale est P alors PoE(x) = 0 a des solutions ssi P(x) = 0 a des solutions dans N.

A noter que PoE(x) = 0 soit ne possède aucune solution, soit en possède une infinité.

par **Dinozzo13** » 07 Mai 2010, 23:32

Tu parles bien de composée là :

Arnaud-29-31 a écrit:A noter que PoE(x) = 0 soit ne possède aucune solution, soit en possède une infinité.

Ce qui est évident, car si

ne posséde pas de solution dans

alors

sinon la solution est un intervalle ou une réunion d'intervalle

par **Dinozzo13** » 07 Mai 2010, 23:34

Sinon, je me damandais quelle est la définition formelle de la partie entière ?

par **Arnaud-29-31** » 07 Mai 2010, 23:41

Et bien pour tout x réel, il existe un unique entier n tel que

...
La partie entière est la fonction qui à x associe n.
Mais y a plein de manières équivalentes de le dire ^^

EDIT : Voila c'est corrigé :$ en effet si c'est n que l'on veut encadrer, on écrira

.

par **Dinozzo13** » 07 Mai 2010, 23:58

Et si je souhaite résoudre des équation de la forme :

;

;
Et

;
où

et

sont deux polynômes quelconques.
Comment procéder ?

par **Arnaud-29-31** » 08 Mai 2010, 01:13

Il faut revenir aux doubles inégalités :

La première est équivalente à

et on résout chaque inégalité.

La deuxième, on a

Donc

Idem, le dernier =>

par **Dinozzo13** » 08 Mai 2010, 07:28

Arnaud-29-31 a écrit:La deuxième, on a

Donc

Idem pour le dernier, cela revient à résoudre

.
Pouf éviter les confusions, je propose un petit exemple plus concret :
Résoudre dans

:

(E).
Résoudre (E) équivaudrait donc à résoudre le système :

.
Ai-je bon ?

par **Ben314** » 08 Mai 2010, 09:20

Non, ce nest pas bon car E(a)=E(b) n'est pas équivalent à |b-a| |b-a|<1

Par exemple, si a=0.99 et b=1.01 alors |b-a|<1 alors que E(a) n'est pas égal à E(b).

Conclusion, tu peut commencer par résoudre tes deux inéquations, mais tu aura trop de solutions...

P.S. :
Arnaud a fait une faute de frappe dans son post 6, la partie entière de x est l'unique entier n tel que

, c'est à dire

ou encore

par **benekire2** » 08 Mai 2010, 09:33

quoi que pour définir proprement la partie entière, faut d'abord savoir que R est archimédien , parce que ça en découle .

par **Dinozzo13** » 08 Mai 2010, 09:46

Je ne sais pas ce que cela signifie que R soit archimédien.

par **Dinozzo13** » 08 Mai 2010, 09:49

Ben314 a écrit:mais tu aura trop de solutions...

Est-ce gênant ?

par **Arnaud-29-31** » 08 Mai 2010, 14:20

Dinozzo13 a écrit:Est-ce gênant ?

Bein le soucis c'est que comme on a travaillé par implication il faut ensuite tester les solutions pour faire le tri ... Ce qui a mon avis ne doit pas être si évident.

par **Ben314** » 08 Mai 2010, 17:38

Dinozzo13 a écrit:Je ne sais pas ce que cela signifie que R soit archimédien.

Cherche pas : à un point virgule prés, ça dit que tout réel admet une partie entière (ce qui, si on ne connait pas la définition précise d'un nombre réel peut être considéré comme une "évidence")

Aprés, par rapport à ce qu dit arnaud, l'idé que j'avais, c'est que, pour résoudre E(P(x))=E(Q(x)), si tu commence par résoudre |P(x)-Q(x)|<1, avec un peu de pot tu risque de voir qu'il n'y a qu'un nombre fini (petit ?) d'entiers possible pour E(P(x))=E(Q(x)) et il suffit alors de résoudre pour chacun d'eux.

Bon, de toute façon, c'est le genre d'équation que, à part pour quelques "casse-têtes" j'ai rarement rencontré...

par **benekire2** » 08 Mai 2010, 17:54

et ben oui, c'est le truc, de la borne sup on a l'archimédianité qui nous donne la partie entière. Mais bon, oui c'est du chipotage :zen:

équation partie entière

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