Equation paramétrique !

[barbu23]

Bonsoir :
On considère les droites suivantes determinées par leurs équations paramétriques :
et
Question:
Détérminer l'équation de la droite perpendiculaire à et à en même temps !
Merci d'avance !!

[barbu23]

Je pense qu'il faut chercher un vecteur normal à et à , et donc, est un vecteur directeur de la droite perpendiculaire à et à ... !! ensuite, il faut trouver les coordonnées d'un point sur cette droite ... n'est ce pas ?!
Pour la normale aux deux droites et , c'est la normale à leurs vecteurs directeurs :
est le vecteur directeur de et est le vecteur directeur de
est normale à et à si et seulement si : .
Pour celà, il faut resoudre le système d'équations suivants:




L'ensemble des vecteurs normaux à et à est de la forme : .
Donc, par exemple, le vecteur est un vecteur directeur de la droite perpendiculaire à et à ...
Il reste à determiner maintenant, un point sur cette droite .. aidez moi svp ... !
Merci d'avance !!

[barbu23]

L'idée est dans ma tête mais j'arrive pas à la traduire mathematiquement, est ce que vous vouvez m'aider ... !
L'idée est la suivante :
On cherche l'équation du plan contenant la droite et qui contient en même temps une droite de vecteur directeur ( n'est pas un vecteur directeur de la droite ).
L'intersection de ce plan avec la droite est le point recherché !!

[flight]

salut

on peut ecrire (r) sous la forme :

x+y-1=0
2y+z=4

et (s) sous la forme

x-3y=5
y-z=1


donc chaque droite est représentée par un systeme qui est en fait l'intersection de 2 plans et donc pour chaque droite , le vecteur directeur est obtenu en calculant le produit vectoriel formé par les normales à chaque plan

(r) à pour vecteur directeur le produit vectoriel de (1,1,0) et (0,2,1) soit
Vr ( 1,-1,2)

pour (s) il s'agit du produit vectoriel de (1,-3,0) et de (0,1,-1) soit

Vs (3,1,1)

la droite recherché doit présenter un vecteur directeur tel que le produit scalaire de ce dernier avec les vecteurs directeurs de chaque droite soit nul ,

soit U(a,b,c) le vecteur directeur de la droite cherchée ,
alors Vr.U=0 soit 3a+b+c=0
de meme on doit avoir Vs.U=0 soit a-b+2c=0

on se trouve donc avec le systeme suivant à resoudre

3a+b+c=0
a-b+2c=0 les inconnues principales seront a et b et l'inconnue secondaire c

on trouve a=(-3/4).c b=(5/4).c

donc la droite cherchée à pour vecteur directeur ( -3/4.c , 5/4.c, c)
donc tout les vecteurs colinéaires à (-3/4, 5/4, 1) conviennent.

la droite est donc de la forme X= -3/4.c.t+ Xo
Y= 5/4.c.t+ Yo
Z= c.t+ Zo avec c choisit dans R

à verifier

[barbu23]

Bon, voiçi ce que j'ai trouvé moi : ( j'ai pas encore vu ce que tu as ecrit "flight" )
on choisit un point sur la droite .. par exemple, , alors l'équation de la droite passant par , et de vecteur directeur est : ...
Celà va nous permettre de trouver trois points non colinéaires sur le plan : par exemple : , et
Maintenant, on determine la normale à ce plan :
En effet :

Par conséquent, l'équation du plan s'ecrit sous la forme suivante :

Par conséquent : L'équation du plan est :
Le point intersection du plan et de la droite est le point qui satisfait le système d'équations suivant :

On obtient :
Par conséquent :
D'où, la droite perpendiculaire au droites et est la droite passant par et de vecteur directeur .

[barbu23]

oui c'est pratiquement le meme resultat que j'ai trouvé moi "flight" ... merci quant même !!