Équation de forme ax + by^n = 1

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Danny Edward
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Équation de forme ax + by^n = 1

par Danny Edward » 15 Nov 2015, 15:10

Bonjour !

Je dois trouver s'il existe des couples (a,b) solutions de l'équation .
Les questions précédentes faisaient travailler sur des équations de forme ax²+by=1 ou ax²+by²=1 mais jamais de puissance 2014... Je n'ai pas vraiment de piste.

J'ai quand même cherché tout ce que je pouvais obtenir à propos de a et b pour que (a,b) soit solution de .
J'ai trouvé que a doit être impair pour que b soit un entier. Si a = 2k+1, .
De plus, si k est pair, le chiffre des unités de doit être 2 (soit avec u un entier), b est alors pair ; de même, si k est impair, le chiffre des unités de est 7 (soit avec v un entier), b est alors impair.
J'ai vraiment l'impression d'avoir tout cherché mais de n'avoir rien trouvé d'utile à la résolution... :hein2:

Je suis perdu, quelqu'un pourrait-il me mettre sur une piste ? :help:

Ps: je précise que dans le message, = b^2014 (je trouve que les balises rendent la puissance assez imprécise)



nodjim
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par nodjim » 15 Nov 2015, 16:20

Je suppose a et b dans N ?

nodjim
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par nodjim » 15 Nov 2015, 16:23

As tu cherché du coté du modulo 5 ? Selon la valeur de b modulo 5, tu dois pouvoir déduire des choses proches du résultat.

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Lostounet
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par Lostounet » 15 Nov 2015, 16:36

nodjim a écrit:As tu cherché du coté du modulo 5 ? Selon la valeur de b modulo 5, tu dois pouvoir déduire des choses proches du résultat.


J'ai regardé du coté de modulo 5, mais j'aboutis à une absurdité ...
L'équation a bien des solutions?
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Danny Edward
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par Danny Edward » 15 Nov 2015, 16:42

Pas forcément, la question est de savoir si elle en a.

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zygomatique
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par zygomatique » 15 Nov 2015, 16:48

salut

2 et 5 sont premiers entre eux donc il existe des entiers u et v tels que 5u - 2v = 1

le couple (1, 2) est solution donc

5u - 2v = 1
5.1 - 2.2 = 1

par soustraction


5(u - 1) = 2(v - 2)

u = 1 + 2k
v = 2 + 5k

donc 5(1 + 2k) - 2(2 + 5k) = 1

donc a = 1 + 2k et

or les carré modulo 5 sont 0, 1 et -1 donc il n'y a pas de solution ...

:zen:
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

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Lostounet
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par Lostounet » 15 Nov 2015, 16:52

zygomatique a écrit:or les carré modulo 5 sont 0, 1 et -1 donc il n'y a pas de solution ...

:zen:


:bad2: :bad2: Yay j'avais raison
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Danny Edward
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par Danny Edward » 15 Nov 2015, 17:02

Merci !
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