Nombres complexes; de la forme cartésienne à la forme trigonométrique?

[biggmen]

Salut, Est-ce qu'on pourrait m'expliquer en détails comment passer de la forme cartésienne à la forme trigonométrique en nombre complexe?

Si quelqu'un pourrait résoudre cette exemple:

z1 = 1+(j/((3)^1/3)) z2 = (-1 - j)

Écrire z1 et z2 sous la forme polaire(trigo) et effectuer cette opération:

(z1)(z2)


De plus, je voudrais savoir quelle est la signification d'une barre horizontale sur mon z2 par exemple?

Cordialement,
Biggmen

[quartzmagique]

Salut pour la barre horizontale c'est la conjuguée de ton nombre complexe
pour t'aider au mieux peut tu dire où en est tu exactement au lycée sur les nombres complexes?

[tototo]

]Salut, Est-ce qu'on pourrait m'expliquer en détails comment passer de la forme cartésienne à la forme trigonométrique en nombre complexe?
si z=a+bj
z=racine A(a/A+j*b/A)=A(cose + j sine)
avec A=racine(a^2+b^2)
Si quelqu'un pourrait résoudre cette exemple:

z1 = 1+(j/((3)^1/3)) z2 = (-1 - j)

Écrire z1 et z2 sous la forme polaire(trigo) et effectuer cette opération:

(z1)(z2)


De plus, je voudrais savoir quelle est la signification d'une barre horizontale sur mon z2 par exemple?
z2=a+bj
z2(barre)=a-bj

Cordialement,
Biggmen

[jlq]

]Salut, Est-ce qu'on pourrait m'expliquer en détails comment passer de la forme cartésienne à la forme trigonométrique en nombre complexe?
si z=a+bj
z=racine A(a/A+j*b/A)=A(cose + j sine)
avec A=racine(a^2+b^2)
Si quelqu'un pourrait résoudre cette exemple:

z1 = 1+(j/((3)^1/3)) z2 = (-1 - j)

Écrire z1 et z2 sous la forme polaire(trigo) et effectuer cette opération:

(z1)(z2)


De plus, je voudrais savoir quelle est la signification d'une barre horizontale sur mon z2 par exemple?
z2=a+bj
z2(barre)=a-bj

Cordialement,
Biggmen

z2 barre c'est ce qu'on appelle le conjugué = a-bj

forme trigo : tu as presque le bon résultat
z=a+bj
A=racine(a^2+b^2)
z=A(a/A+b/Aj)=A(cose+sine j)

[biggmen]

]Salut, Est-ce qu'on pourrait m'expliquer en détails comment passer de la forme cartésienne à la forme trigonométrique en nombre complexe?
si z=a+bj
z=racine A(a/A+j*b/A)=A(cose + j sine)
avec A=racine(a^2+b^2)
Si quelqu'un pourrait résoudre cette exemple:

z1 = 1+(j/((3)^1/3)) z2 = (-1 - j)

Écrire z1 et z2 sous la forme polaire(trigo) et effectuer cette opération:

(z1)(z2)


De plus, je voudrais savoir quelle est la signification d'une barre horizontale sur mon z2 par exemple?
z2=a+bj
z2(barre)=a-bj

Cordialement,
Biggmen

z2 barre c'est ce qu'on appelle le conjugué = a-bj

forme trigo : tu as presque le bon résultat
z=a+bj
A=racine(a^2+b^2)
z=A(a/A+b/Aj)=A(cose+sine j)

Pourriez vous me faire un exemple concrêt avec l'opération que j'ai retranscrit?

PS: Il m'est difficile de vous dre à quel niveau au lycée je suis, car je suis du système scolaire nord-américain.

[jlq]

Pourriez vous me faire un exemple concrêt avec l'opération que j'ai retranscrit?

PS: Il m'est difficile de vous dre à quel niveau au lycée je suis, car je suis du système scolaire nord-américain.

prenons z=racine(3)+j
A=racine (3+1)=2
z=2 (racine(3)/2 + j/2 )
l'angle e verifie
cos e = racine(3)/2
sin e = 1/2
e=PI/6
z=2(cos PI/6 + j sin PI/6)

[biggmen]

prenons z=racine(3)+j
A=racine (3+1)=2
z=2 (racine(3)/2 + j/2 )
l'angle e verifie
cos e = racine(3)/2
sin e = 1/2
e=PI/6
z=2(cos PI/6 + j sin PI/6)

Ok je vais essayer de comprendre tout ça, merci.

[quartzmagique]

Pourriez vous me faire un exemple concrêt avec l'opération que j'ai retranscrit?

PS: Il m'est difficile de vous dre à quel niveau au lycée je suis, car je suis du système scolaire nord-américain.

Bonjour Biggmen

un nombre complexe non nul non nul peut s'écrire sous deux formes différentes(le système américain nomme j le nombre imaginaire)
on peut représenter ce nombre selon les coordonnées cartésiennes (a,b) d'un point Z ou bien en coordonnées polaires
pour visualiser les coordonnées polaires et le module de z on trace un segment de droite OZ passant par l'origine du repere O(0,0) et le point Z(a,b)
lorsque z est nul alors dans ce cas a=0 et b=0

le module du nombre complexe z désigne la longueur du segment OZ
on le note

en ce qui concerne l'argument de ce nombre complexe non nul
ATTENTION : pour definir l'argument d'un nombre complexe celui-ci ne doit pas être nul

il faut visualiser le cercle trigonométrique (et le sens trigonométrique de ce cercle)
l'argument est l'angle formé entre le segment OI selon O(0,0) et I(1,0) d'une part et le segment de droite OZ en prennant en compte le sens dans lequel on "deplacerait" par une rotation inférieure ou égale à un demie tour
un segment coincidant avec le segment OI jusqu'à le faire coincider avec le segment OZ
l'angle étant positif si cette rotation s'effectue en direction de l'axe Y
ou négatif si cette rotation s'effectue en dirctionde l'axe -Y

-----------------------------------------------

petit rappel sur les vecteurs du plan
tout vecteur non nul peut se representer sur une repere comme une flèche partant de l'origine O(0,0) du repere et dont la pointe se trouve sur le point Z de coordonnées cartésiennes (a,b)

Tout vecteur possède une norme et ici pour le vecteur sa norme désigne la distance entre le point origine O(0,0) et le point Z
sa norme

un point d'application, un direction et un sens
le point d'application pour Z est le point origine du repere O(0,0)
la direction est la droite du plan passant par les deux points O(0,0) et Z(a,b)
le sens est celui allant du point origine O(0,0) jusqu'au point Z(a,b)

soient deux vecteurs non nuls et
ces deux vecteurs ont mêmes points d'application O(0,0)
on represente le vecteur par une flèche allant du point O(0,0) à un point P(a,b)
de même on represente le vecteur par une flèche allant du point O(0,0) à un point Q(c,d)

trace les segments de droite OP et OQ tu peut constater qu'il existe un angle (qui peut être nul) on va le noter formé par ces deux segments OP et OQ
en mathématiques la valeur d'un angle est donné en radian et selon le cercle trigonométrique il se simplifie par un nombre réel compris dans l'intervalle de sorte que
seulement en traçant ces deux segments tu peut constater que ton angle peut se decrire aussi bien uniquement dans l'intervalle de sorte que


tu vérifie

ici on utilise le produit scalaire euclidien

il résulte donc que
et ici dans l'exemple

--------------------------------------

est-ce que tu suit?
etant donné que tu n'a pas été tres clair avec ce quetu sait ou pas j'ai préféré partir de ce post

[biggmen]

Bonjour Biggmen

un nombre complexe non nul non nul peut s'écrire sous deux formes différentes(le système américain nomme j le nombre imaginaire)
on peut représenter ce nombre selon les coordonnées cartésiennes (a,b) d'un point Z ou bien en coordonnées polaires
pour visualiser les coordonnées polaires et le module de z on trace un segment de droite OZ passant par l'origine du repere O(0,0) et le point Z(a,b)
lorsque z est nul alors dans ce cas a=0 et b=0

le module du nombre complexe z désigne la longueur du segment OZ
on le note

en ce qui concerne l'argument de ce nombre complexe non nul
ATTENTION : pour definir l'argument d'un nombre complexe celui-ci ne doit pas être nul

il faut visualiser le cercle trigonométrique (et le sens trigonométrique de ce cercle)
l'argument est l'angle formé entre le segment OI selon O(0,0) et I(1,0) d'une part et le segment de droite OZ en prennant en compte le sens dans lequel on "deplacerait" par une rotation inférieure ou égale à un demie tour
un segment coincidant avec le segment OI jusqu'à le faire coincider avec le segment OZ
l'angle étant positif si cette rotation s'effectue en direction de l'axe Y
ou négatif si cette rotation s'effectue en dirctionde l'axe -Y

-----------------------------------------------

petit rappel sur les vecteurs du plan
tout vecteur non nul peut se representer sur une repere comme une flèche partant de l'origine O(0,0) du repere et dont la pointe se trouve sur le point Z de coordonnées cartésiennes (a,b)

Tout vecteur possède une norme et ici pour le vecteur sa norme désigne la distance entre le point origine O(0,0) et le point Z
sa norme

un point d'application, un direction et un sens
le point d'application pour Z est le point origine du repere O(0,0)
la direction est la droite du plan passant par les deux points O(0,0) et Z(a,b)
le sens est celui allant du point origine O(0,0) jusqu'au point Z(a,b)

soient deux vecteurs non nuls et
ces deux vecteurs ont mêmes points d'application O(0,0)
on represente le vecteur par une flèche allant du point O(0,0) à un point P(a,b)
de même on represente le vecteur par une flèche allant du point O(0,0) à un point Q(c,d)

trace les segments de droite OP et OQ tu peut constater qu'il existe un angle (qui peut être nul) on va le noter formé par ces deux segments OP et OQ
en mathématiques la valeur d'un angle est donné en radian et selon le cercle trigonométrique il se simplifie par un nombre réel compris dans l'intervalle de sorte que
seulement en traçant ces deux segments tu peut constater que ton angle peut se decrire aussi bien uniquement dans l'intervalle de sorte que


tu vérifie

ici on utilise le produit scalaire euclidien

il résulte donc que
et ici dans l'exemple

--------------------------------------

est-ce que tu suit?
etant donné que tu n'a pas été tres clair avec ce quetu sait ou pas j'ai préféré partir de ce post

Salut, oui je te suis cela m'a aidé!
Merci à toi

[quartzmagique]

il faut faire attention avec l'argument d'un nombre complexe non nul comme tu peut le voir ici:
car



et cela pour
de sorte qu'en calculant avec des arguments tu doit tenir compte des conséquences de ces égalitées

ainsi pour un nombre complexe non nul
on peut établir cette égalitée





avec

le module ||z|| et l'argument

pour
pour

et

[biggmen]

il faut faire attention avec l'argument d'un nombre complexe non nul comme tu peut le voir ici:
car



et cela pour
de sorte qu'en calculant avec des arguments tu doit tenir compte des conséquences de ces égalitées

ainsi pour un nombre complexe non nul
on peut établir cette égalitée





avec

le module ||z|| et l'argument

pour
pour

et

Ok, c'est beaucoup d'information, mais j'essais de comprendre tout ça.
Merci beaucoup, regarde tes mps je t'ai envoyé des problèmes que je ne comprends pas.

[quartzmagique]

sinon pour te répondre permet moi de te demander quel est l'argument de j?
j étant le nombre complexe : 0+j.1

il ne faut pas oublier que tu a appris l'exponentiel et la logarithme



il résulte dès lors que pour un nombre complexe non nul
ATTENTION pour qu'un nombre complexe possède un argument il faut qu'il soit non nul


avec le module
l'argument et

tu obtiens donc

alors si n est un entier donc si dans ce cas l'argument deviens
car là est équivallent à avec


mais ce n'est plus valable si

on est d'accord?

[biggmen]

sinon pour te répondre permet moi de te demander quel est l'argument de j?
j étant le nombre complexe : 0+j.1

il ne faut pas oublier que tu a appris l'exponentiel et la logarithme



il résulte dès lors que pour un nombre complexe non nul
ATTENTION pour qu'un nombre complexe possède un argument il faut qu'il soit non nul


avec le module
l'argument et

tu obtiens donc

alors si n est un entier donc si dans ce cas l'argument deviens
car là est équivallent à avec


mais ce n'est plus valable si

on est d'accord?

Oui on est d'accord!

[quartzmagique]

alors quel est l'argument de J?

[quartzmagique]

excusez l'apparté

Biggmen
si tu veut que je t'ecrive il faut liberer ta boite message privé

-> aide en derivation deux mp en attente : formulaires + explications(methode)