équation fonctionnelle

[t.itou29]

Bonsoir,
J'aurais besoin d'aide pour résoudre ce problème :
Soit f une fonction dérivable qui satisfait :
f(x+y)=f(x)f(y) et pour tout réel x,y f'(0)=3.
Trouver f
Je pense qu'il s'agit des fonctions de la forme mais pour le démontrer ! Je pense par analyse synthèse mais je bloque. Comme il n'est pas demandé de trouver toutes les fonctions f, je peux juste en donner une et montrer qu'elle convient ?
Pouvez-vous m'aider ?

[keofran]

Donc a = e

Il n'y a que qui marche.

On peut montrer l'unicité en posant g une fonction différente qui vérifie les conditions. Prouver l'égalité des fonctions, donc l'absurdité de l'hypothèse, donc l'unicité de la fonction.

[titine]

Bonsoir,
J'aurais besoin d'aide pour résoudre ce problème :
Soit f une fonction dérivable qui satisfait :
f(x+y)=f(x)f(y) et pour tout réel x,y f'(0)=3.
Trouver f
Je pense qu'il s'agit des fonctions de la forme mais pour le démontrer ! Je pense par analyse synthèse mais je bloque. Comme il n'est pas demandé de trouver toutes les fonctions f, je peux juste en donner une et montrer qu'elle convient ?
Pouvez-vous m'aider ?

Connais tu la dérivée de la fonction a^x ?

[t.itou29]

Connais tu la dérivée de la fonction a^x ?

Oui j'ai "bugué" Comme dit kofrean il n'y a que qui marche. Par contre pour l'unicité je vois pas comment faire par l'absurde. Quelle fonction je peux utiliser ?

[keofran]

Si g vérifie les conditions tu peux poser

Que vaut ?

Que vaut la dérivée de par rapport à y ? Puis prendre une valeur intéressante pour y.

[chan79]

Bonsoir,
J'aurais besoin d'aide pour résoudre ce problème :
Soit f une fonction dérivable qui satisfait :
f(x+y)=f(x)f(y) et pour tout réel x,y f'(0)=3.
Trouver f
Je pense qu'il s'agit des fonctions de la forme mais pour le démontrer ! Je pense par analyse synthèse mais je bloque. Comme il n'est pas demandé de trouver toutes les fonctions f, je peux juste en donner une et montrer qu'elle convient ?
Pouvez-vous m'aider ?

salut
en dérivant par rapport à x

f'(x+y)=f'(x)*f(y)
avec x=0, on a:

f'(y)=f'(0)*f(y)
f'(y)=3*f(y)

et tu as vite le résultat

[Ben314]

Sinon tu peut aussi revenir à la définition de la dérivée :

[t.itou29]

Sinon tu peut aussi revenir à la définition de la dérivée :

Merci ! J'ai compris et puis pour montrer l'unicité il faut juste adapter la démo de l'unicité de la fonction exponentielle (d'ailleurs je sais pas pourquoi j'y ai pas pensé !). Merci encore

[chan79]

Sinon tu peut aussi revenir à la définition de la dérivée :

Bien vu ! :zen:
Ne pas oublier de vérifier que f(0)=1

[t.itou29]

J'ai un autre exercice dans le genre mais avec f(xy)=f(x)+f(y) et f'(1)=3
Voilà ce que j'ai fait :
En dérivant par rapport à x, il vient :
f'(xy)=f'(x)
yf'(xy)=f'(x)
En prenant x=1 on a:
yf'(y)=3
f'(y)=3/y
D'où f(y)=3ln(y)+K
Et on montre facilement que seul f(y)=3ln(y) convient
Est-ce correct ?

[chan79]

J'ai un autre exercice dans le genre mais avec f(xy)=f(x)+f(y) et f'(1)=3
Voilà ce que j'ai fait :
En dérivant par rapport à x, il vient :
f'(xy)=f'(x)
yf'(xy)=f'(x)
En prenant x=1 on a:
yf'(y)=3
f'(y)=3/y
D'où f(y)=3ln(y)+K
Et on montre facilement que seul f(y)=3ln(y) convient
Est-ce correct ?

c'est bien ça !

[t.itou29]

c'est bien ça !

Merci ! Je commence à aimer les équas fonctionnelles !