Équation fonctionnelle

[t.itou29]

Bonsoir,
J'ai un exercice sur une équation fonctionelle, je crois l'avoir réussi mais je me demande s'il n'y avait pas plus simple.
Il faut trouver tout les polynômes tels qu'i existe un k tel que . (1)

Soit une polynôme de de degré n satisfaisant ces conditions alors il est clair que , or la fonction dérivée d'un polynôme de degré n est de de degré n-1. n est donc solution de l'équation , c'est à dire n=2.
f est donc un polynôme du second degré, de la forme . En remplaçant dans (1), on a donc . f admet donc une racine double, d'où ou encore .
Réciproquement tout polynôme du second degré vérifiant est solution du problème.
Déjà est-ce correct ? Et si ça l'est n'y a-t-il pas une solution plus simple ça me paraît assez long et lourd.

[Sa Majesté]

C'est pas mal mais ton raisonnement pêche ici

or la fonction dérivée d'un polynôme de degré n est de de degré n-1.

En effet la fonction dérivée d'un polynôme de degré 0 est de degré 0 et donc il te manque le polynôme nul comme solution.

[t.itou29]

C'est pas mal mais ton raisonnement pêche ici

En effet la fonction dérivée d'un polynôme de degré 0 est de degré 0 et donc il te manque le polynôme nul comme solution.

Ah oui merci, du coup je précise la fonction dérivée d'un polynôme de degré et à la fin je rajoute que le polynôme nul est également solution ?

[Kiocle]

Bonjours,

On a dès lors on sépare les cas :

si
On a bien n = 2 dès lors on a l'équation
en identifie les coefficients (ils sont uniques) des deux polynôme on obtient
,sachant a non nul (sinon le degré du polynôme devient 1) on a
et donc b est quelconque
, donc les polynôme de degré deux solutions sont de la forme avec b quelconque.

si deg(f) = 0
0 = 2(-) = - c'est absurde, donc f n'est pas un polynôme constant non nul.

si deg(f) = -

- = 2(-) donc le polynôme nul peut convenir (et il convient)

Finallement tu as les polynômes de la forme avec b quelconque et le polynôme nul. Tu peut remarquer que et il suffit de vérifier la réciproque.

est une condition nécessaire mais non suffisante (prend a=1 b=4 c=1 et K = 0.5).