Equation de degré 3

par **Krys933** » 05 Sep 2007, 22:10

Bonjour à tous ; j'ai un DM à faire et je cale sur un des exo ; merci de m'apporter votre aide :d

1/ Démontrer que 'équation : -3 x^3 - (9/2)x² +18x+3 =0 admet trois solutions disctinctes x1 x2 x3 telle que -4 Indication : on pourra procéder à l'étude d'une fonction.

2/ Al'aide d'ne calculatrice donner un encadrement d'amplitude 10^-3 de chacune des solutions.

Je cale sur la 1er question jai essayer d'étudier la dfonction notamment avec la derivée pour obtenir un poly de degré 2 mais je ne sais pas comment continuer ....merci d'avance.

par **matteo182** » 05 Sep 2007, 22:17

Salut,
Si tu poursuis ton raisonnement en construisant le tableau de variation ( avec toutes les valeurs ) tu réussira à démontrer ce que tu veux. Simplement pose toi la question : Que représentent graphiquement les solutions de l'équation de départ ?

par **Krys933** » 05 Sep 2007, 22:29

J'ai fait le tableau de variations avec toutes les valeurs je ne trouve pas ....les solutions de l'equations de depart donnent les abscisses des points d'intersection entre la courbe et l'axe des abscisses

par **matteo182** » 05 Sep 2007, 22:36

Ok.
maintenant il faut relier ceci à la dérivée, et plus particulièrement aux points où la dérivée s'annule. Si tu as trouvé la bonne dérivée tu auras sans doute remarquer que les points où elle s'annule ( points à tangentes horizontales ) sont -2 et 1, qui sont aussi les nombres présent dans l'inégalité des solutions que l'on te demande de prouver.

Une idée, imagine un "morceau" de ta fonction sur l'intervalle [-2;1]. La fonction est croissante strictement. Si tu calcules f(-2) et f(1) tu verras que tu trouveras un nombre négatif puis un nombre positif. Cela ne te fais pas penser à un théorème ?

par **Krys933** » 05 Sep 2007, 22:56

oui je trouve f(-2) = -27 et f(1) =27/2 quel thm ? euh la non je seche dsl

par **matteo182** » 05 Sep 2007, 22:58

Théorème des Valeurs Intermédiares ? ;)

par **Krys933** » 05 Sep 2007, 23:03

non celane me dit rien

par **matteo182** » 05 Sep 2007, 23:05

Tu es en quelle classe ?

par **Krys933** » 05 Sep 2007, 23:12

Je viens de passé en Ts mais mon prof a été absent 2mois en fin d'année pour accoucheement ; donc j'ai suivis la fin du prog chez moi mais j'ai pe etre pas totu assimilé

par **matteo182** » 05 Sep 2007, 23:20

ok donc normal que tu n'ai pas vu ce théorème. Cela viendra en cours d'année.
Grossomodo l'idée du théorème c'est de dire que si sur un intervalle donnée[a,b], une fonction est continue pour tout reel k compris entre f(a) et f(b) il existe un c entre a et b tel que k=f(c). En gros appliqué à ton problème, cela voudrait dire que dans l'intervalle [-2,1] il existe un certain x0 tel que f(x0) = 0 puisque 0 est entre f(-2) et f(1).

par **Miya** » 05 Sep 2007, 23:21

J'adore le nom ronflant de "théorème des valeurs intermédiaires" pour une évidence :D

Fait un chtit dessin Krys.
Si ta courbe passe par un point sous la barre des abscisses, et par un point par dessus la barre des abscisses, ta courbe devrais à un moment ou un autre couper le barre des abscisses non?

Enfin, si t'as le temps et l'envie (une sacré motivation), tu peux t'amuser à calculer les valeurs exactes des solutions avec une méthode générale pour résoudre les équations du 3ème degré :).
Commence par simplifier l'équation en multipliant tout par -2/3 :
2x^3 + 3x^2 - 6x - 1 = 0

Ensuite, changements de variable :
d'abord pour virer le x^2 qui nous embête : t = x - 1/2
--> 2t^3 - 3t² + 9/2t - 1/4 +3t² -3t +3/4 -6t +3 -1 = 2t^3 - 9/2t + 3/2
4t^3 - 9t + 3 = 0
après le coup magique : t = racinecubique(u) + racinecubique(v), et c'est parti pour une longue galère dans les puissances ;)

par **Krys933** » 05 Sep 2007, 23:21

dis moi je vais peux etre te paraitre entreprenant mais cela te derangerait t-il que tu m'explique la methode par MSN?

par **Krys933** » 05 Sep 2007, 23:28

je ne sais pa maitriseer les racines cubiques^^

par **Miya** » 05 Sep 2007, 23:31

Pas de problème, envoie moi ton msn par PM et je t'ajoute.
Par contre, je te préviens, cette méthode est complétement hors programme, et c'est super long d'avoir le résultat (bien que ce n'est pas sorcier. Les racines cubiques n'ont rien de difficile non plus. D'ailleurs on n'est pas obligé de les utiliser).
Ce que t'indique matteo est plus ce qui correspond à ce que tu es sensé faire.

A tes risques et périls =)

par **matteo182** » 05 Sep 2007, 23:32

Il est vrai Miya mais une évidence et un dessin ne constituent pas une démonstration mathématique. Par ailleurs l'hypothèse de continuité est nécéssaire. Néammoins un dessin pourrait t'aider oui.

Je ne fais pas dans msn désolé. Le forum est là pour ca.

par **Krys933** » 05 Sep 2007, 23:34

ba matteo je veux bien alor que tu m'explique la methode du rogramme que je puisse connaitre les deux :d

par **Miya** » 05 Sep 2007, 23:36

Indeniablement, il est necessaire d'avoir la continuité. Tout comme il est necessaire que ce fait (le théorème des valeurs intermédiaires) soit démontré, et qu'un dessin n'est pas une preuve suffisante.

Neanmoins ici, je pense que l'intuition et la visualisation aident bien plus que la définition théorique, surtout qu'au lycée, toutes les fonctions sont continues ou presque :). Et à nouveau, il est évident via un dessin que ce théorème a toutes ses chances de ne pas fonctionner si la fonction n'est pas continue...

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