équation complexe

[rdt]

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir s'il existe un moyen, de niveau terminale S et plus court que celui exposé ci-dessous, de trouver la réponse à la question suivante extraite d'un QCM :

Une solution de l'équation 2z +conjugué(z) = 9 +1 est :
a) 3
b) i
c) 3 +i

pseudo Algorithme :
isoler z
supposer que s est une solution
vérifier si (9 +1 -conjugué(s))/2 = s
si oui s est solution
sinon supposer une autre solution.

On trouve ainsi que la réponse c) est correcte.

Merci d'avance

[LB2]

Bonjour,

pour vérifier si un nombre complexe a+ib quelconque est solution de l'équation, ben c'est très simple, il suffit de calculer 2z+z barre = 3a + ib et de vérifier si c'est égal ou pas à 9 + i.

[Lostounet]

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir s'il existe un moyen, de niveau terminale S et plus court que celui exposé ci-dessous, de trouver la réponse à la question suivante extraite d'un QCM :

Une solution de l'équation 2z +conjugué(z) = 9 +1 est :
a) 3
b) i
c) 3 +i

pseudo Algorithme :
isoler z
supposer que s est une solution
vérifier si (9 +1 -conjugué(s))/2 = s
si oui s est solution
sinon supposer une autre solution.

On trouve ainsi que la réponse c) est correcte.

Merci d'avance

Si z=a+bi est un complexe (avec a et b partie réelle et imaginaire)
Alors son conjugué est: z*=a-bi

Donc si 2z+z*=9+i
Alors 2(a+bi)+(a-bi)=9+i

Donc: 3a + bi=9+i

Par identification des parties réelles et imaginaires
3a=9 et b=1
Donc a=3, b=1 et z=a+bi=3+i

[rdt]

Désolé une erreur c'était glissée dans ma rédaction de la question.
L'équation était :
2z +conjugué(z) = 9 +i
et non
2z +conjugué(z) = 9 +1.

Merci LB2, je réalise que l'étape "isoler z" est superflue, et qu'après avoir supposé que s est solution, il suffit de vérifier si 2s +conjugué(s) = 9 +i.

Excellent Lostounet ! Cela me semblait un peu bestial d'avoir à tester toutes les solutions.

Merci et très bon weekend à vous,

Vive les maths !

[Ben314]

Salut,
Perso., ce que je comprend pas, c'est ce qu'est sensé faire ce "pseudo algorithme" : ça veut dire quoi "isoler z" ?

[LB2]

J'ai la même question que Ben314 , mais j'ai une idée de la réponse (... : Rien)

[rdt]

Bonsoir,

Début de la réponse à "qu'est-ce qu'est censé faire ce pseudo-algorithme" :

Je cherchais un autre moyen de répondre à une question ; le pseudo algorithme était une expression du moyen que j'ai utilisé.

Puisque :

une suite d'opérations logico-mathématiques est un algorithme,

un algorithme s'exprime de préférence dans un langage formalisé,

j'ai utilisé un langage non formalisé pour exprimer un algorithme,

on appelle généralement algorithme l'expression d'un algorithme,

Alors :

j'ai appelé pseudo-algorithme :

isoler z
supposer que s est une solution
vérifier si (9 +1 -conjugué(s))/2 = s
si oui s est solution
sinon supposer une autre solution.

Fin de la réponse à "qu'est-ce qu'est censé faire ce pseudo-algorithme".


Début de la réponse à : "ça veut dire quoi "isoler z" ?" :

Supposons que z est une variable d'une équation de degré 1.
isoler z est équivalent à exprimer z en fonction des autres termes de l'équation.
Exemple avec a, b et c des nombres complexes :
az + b = c
en isolant z on obtient :
z = (c -b)/a

Fin de la réponse à : "ça veut dire quoi "isoler z" ?"


Début commentaire :

Puissiez-vous ainsi dormir sur vos deux oreilles.

Fin commentaire.

[LB2]

Je suis d'accord avec ta définition "d'isoler z", cad résoudre une équation de degré 1 en z. Sauf que ton équation de départ n'est pas une équation de degré 1 en z justement, tu ne peux pas isoler z

[Lostounet]

Autre méthode de résolution en se ramenant à une équation de degré 1 en z: (z* = conjugué de z)

2z + z*= 9 +i (Equation 1)
En prenant le conjugué des deux membres:
2z*+z = 9-i
Donc z*=(9-i-z)/2

En remplaçant ce z* dans Equation 1:
2z+(9-i-z)/2=9+i

4z+9-i-z=18+2i
3z=9+3i donc z=3+i

[Ben314]

@Lostounet : Faire gaffe quand même au fait que le raisonnement que tu vient de faire, ça ressemble "plus que beaucoup" au raisonnement "archi classique" suivant :
- Soit un réel tel que
- En multipliant par , il vient c'est à dire
- En substituant dans l'équation de départ, on en déduit que c'est à dire et donc .
- Sauf que n'est pas solution de l'équation de départ.

Bref, ton raisonnement, ce qu'il montre, c'est uniquement que, s'il y a une solution, ça ne peut être que .
Par contre, sans argument supplémentaire, il ne prouve pas que est solution.

[Lostounet]

@Lostounet : Faire gaffe quand même au fait que le raisonnement que tu vient de faire, ça ressemble "plus que beaucoup" au raisonnement "archi classique" suivant :
- Soit un réel tel que
- En multipliant par , il vient c'est à dire
- En substituant dans l'équation de départ, on en déduit que c'est à dire et donc .
- Sauf que n'est pas solution de l'équation de départ.

Bref, ton raisonnement, ce qu'il montre, c'est uniquement que, s'il y a une solution, ça ne peut être que .
Par contre, sans argument supplémentaire, il ne prouve pas que est solution.

Oui Ben effectivement ça m'a traversé l'esprit (par contre si on résout ton x^3=1 dans C en le privant de x=1 ça devrait passer non? Si on cherchait des x complexes...)

On peut par exemple réinjecter le 3+i et vérifier si effectivement...

Par contre j'ai pas trouvé ici un argument théorique (s'il y en a) en amont pour justifier que l'on tombera sur la bonne solution...

[Ben314]

Oui Ben effectivement ça m'a traversé l'esprit (par contre si on résout ton x^3=1 dans C en le privant de x=1 ça devrait passer non? Si on cherchait des x complexes...)

Ca change pas grand chose au problème : dans C l'équation x^3=1 admet 3 solutions alors que seulement deux d'entre elles sont des solution de l'équation de départ.

Par contre j'ai pas trouvé ici un argument théorique (s'il y en a) en amont pour justifier que l'on tombera sur la bonne solution...

S'il existe de tel argument, il est forcément spécifique à certaines équations vu que si tu emploie exactement la même méthode pour résoudre 2x+2x*=9 tu trouve au final l'équation 0.x=0 que tout complexe x vérifie alors qu'ils ne vérifient pas tous 2x+2x*=9.

[Lostounet]

Ca change pas grand chose au problème : dans C l'équation x^3=1 admet 3 solutions alors que seulement deux d'entre elles sont des solution de l'équation de départ.
.

Oui c'est vrai.
Moi je le vois comme: 1+x+x^2=(1-x^3)/(1-x) pour x différent de 1 donc c'est les racines troisièmes de 1 privées de 1 (mais en fait la manière de faire ci-dessus passe le 1 sous le tapis)