Equa fonctionnelle

[Kikoo <3 Bieber]

Yo

Après mon échec avec l'équa diophantienne, je reviens en force avec une équa fonctionnelle !!!! Nan, j'espère vraiment y arriver cette fois-ci ^^

Nous traitons l'équation suivante :



J'ai d'abord du vérifier que appartient à F puis je dois écrire la relation dans les cas où :

a) x=0
b) y=0
c) x=y

On me demande d'en déduire les valeurs possibles de f(0)
Je trouve :

a)
b)
c)

Le problème, c'est qu'il existe des cas où f(x) est l'application nulle (comme il est indiqué dans les questions qui suivent), mais ce ne serait pas possible si f(x) est en dénominateur... Donc j'aimerais bien que vous m'indiquiez ce qui ne va pas !

Voici le lien du sujet : http://www.mathsland.com/Mathematiques/131/131_2_1010_3_1_372.pdf

Merci d'avance !

[Kikoo <3 Bieber]

Is there someone to help me ? :)

[MMu]

;
Deux cas possibles :
1)
2) . On pose donc , et comme on obtient
:zen:

[Kikoo <3 Bieber]

;
Deux cas possibles :
1)
2) . On pose donc , et comme on obtient
:zen:

Merci pour ta réponse, Mmu )

Je n'ai cependant pas bien compris : Ne traite-t-on que le cas b) ou pas dans ce que tu viens d'écrire ?

[MMu]

Merci pour ta réponse, Mmu )

Je n'ai cependant pas bien compris : Ne traite-t-on que le cas b) ou pas dans ce que tu viens d'écrire ?

Non ... il y deux valeurs possibles pour : 0 et 1 ... :zen:

[Kikoo <3 Bieber]

salut,

Je me retrouve devant une petite équation fonctionnelle :

f(x) satisfait f(x)+(x+1)^3=2f(x+1). Trouver f(10)

Une petite piste pour avancer ?

[Nightmare]

Salut,

en posant g(x)=2f(x+1)-f(x), examine

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

en posant g(x)=2f(x+1)-f(x), examine

Salut Nightmare

Nous avons un télescopage d'une part, ce qui donne :
et cela me laisse :
D'autre part, (d'après ma calculatrice).

Alors à ce point, j'ai deux questions : on pourrait essayer de déterminer f(10) en posant n=9, mais alors nous ne connaissons pas f(0). Aussi, comment effectuer le second calcul sommatoire sans la calculatrice ?

Merci !

[Nightmare]

Effectivement, il faut déterminer f(0) et là comme ça je ne vois pas pourquoi il serait déterminé de manière unique.

Pour la somme des 2^k(k+1)^3, il suffit de connaitre la somme des 2^k.k^n pour n=0,1,2 et 3.

Pour ça, on peut utiliser la somme géométrique des (2x)^k dont les dérivées successives fournissent pas à pas les sommes voulues.

[Kikoo <3 Bieber]

Sachant qu'il n'y a pas d'indication précise sur f(0), ce petit problème me bloque !

Et d'où t'es venue l'idée de cette somme ? L'habitude des télescopages ?

[Black Jack]

salut,

Je me retrouve devant une petite équation fonctionnelle :


Une petite piste pour avancer ?

A la bourrin:

f(1) = (f(0) + 1)/2

f(2) = (f(1) + 8)/2
f(2) = ((f(0) + 1)/2) + 8)/2
f(2) = (f(0) + 17)/4

f(3) = (f(2) + 27)/2
f(3) = (f(0) + 125)/8

f(4) = ...
...

f(10) = (f(0) + 795661)/(2^10)

:zen:

[Kikoo <3 Bieber]

Salut BJ !
Si tu as bien lu, tu peux voir qu'on atteint ce résultat sans bourriner ;)
Ne reste plus qu'à trouver f(0)... :mur:

[Black Jack]

Salut BJ !
Si tu as bien lu, tu peux voir qu'on atteint ce résultat sans bourriner
Ne reste plus qu'à trouver f(0)... :mur:

Pas d'accord,

La méthode bourrin est sans équivoque, il n'y a pas moyen de trouver f(0) sans autre indication de l'énoncé.
C'est inutile de chercher.

La méthode bourrin donne : f(10) = (f(0) + 795661)/(2^10) et pas moyen d'en sortir, cela s'arrète là.

C'est inutile de se cacher derrière des calculs inutiles, mais chacun fait comme il le sent.

:zen:

[Nightmare]

Je ne comprends pas comment Black Jack justifies rigoureusement que f(0) n'est pas déterminé de manière unique.

Pour moi la seule manière de le faire serait soit de prouver que l'ensemble des solutions à une certaine structure générée par f(0) et de dimension (relative à la structure) supérieure strictement à 1, soit d'exhiber deux solutions qui ont une valeur en 0 différente. Problème, on peut facilement trouver un unique polynôme qui soit solution, mais pour trouver une autre solution, ça devient délicat.

Edit : Et effectivement, pour adhérer aux propos de Kikoo, ta méthode n'est qu'une réécriture non rigoureuse de la méthode déjà employée plus haut

[Black Jack]

Je ne comprends pas comment Black Jack justifies rigoureusement que f(0) n'est pas déterminé de manière unique.

Pour moi la seule manière de le faire serait soit de prouver que l'ensemble des solutions à une certaine structure générée par f(0) et de dimension (relative à la structure) supérieure strictement à 1, soit d'exhiber deux solutions qui ont une valeur en 0 différente. Problème, on peut facilement trouver un unique polynôme qui soit solution, mais pour trouver une autre solution, ça devient délicat.

Edit : Et effectivement, pour adhérer aux propos de Kikoo, ta méthode n'est qu'une réécriture non rigoureuse de la méthode déjà employée plus haut

J'admets que ma méthode ne démontre pas que f(0) est ou non défini, mais là où je suis arrivé, soit : f(10) = (f(0) + 795661)/(2^10) n'est pas contestable et rien de non rigoureux n'a été introduit dans mon 1er message pour arriver à ce résultat.


:zen:

[Kikoo <3 Bieber]

Tout à fait, il s'agit d'une méthode fastidieuse, certes, mais tout à fait légitime !

J'hésite à abandonner pour avoir la réponse...

[Black Jack]

f(x) = x³-3x²+9x-13 est une possibilité.

Parmi d'autres ?

:zen:

[Nightmare]

J'admets que ma méthode ne démontre pas que f(0) est ou non défini, mais là où je suis arrivé, soit : f(10) = (f(0) + 795661)/(2^10) n'est pas contestable et rien de non rigoureux n'a été introduit dans mon 1er message pour arriver à ce résultat.


:zen:

bien sûr que ton égalité n'est pas contestable, mais la présence des pointillés masquent une récurrence finie, c'est là le côté non rigoureux. Enfin, "non rigoureux" ne veut pas dire "faux" hein...

J'ai trouvé le même polynôme que toi comme solution et c'est le seul pour des raisons de degré et d'identification. Tout le problème est de savoir si c'est la seule solution parmi toutes les fonctions.

[Kikoo <3 Bieber]

Je tente 777, les gars ? :zen:

[Kikoo <3 Bieber]

C'est la bonne réponse !!! :D et hop, +125 points pour moi :)

Mais comment as-tu déterminé ce polynôme, Nightmare ? :hein: