Enigme sur un triangle avec médiane (1èreS)

par **lexot** » 06 Jan 2007, 03:04

Bonjour

J'ai trouvé cet énigme sur un site Anglais. Je l'expose :

Soit un triangle ABC. BD est la médiane issue de B. L'angle ADB = 45°. L'angle ACB a pour mesure x, et l'angle BAC a pour mesure 3x, soit le triple de l'angle ACB. Montrer que x vaut 22,5°.

lien site : http://agutie.homestead.com/files/problem/problem003.htm

Cordialement

par **Imod** » 06 Jan 2007, 11:13

Bonjour .

On peut considérer [DH] la bissectrice de l'angle ADB alors en observant les angles des triangles ADH et BDH : AHD=BHD=157,5-3x donc (DH) est perpendiculaie à (AB) . Alors ABD est isocèle en D et BD=2.AC ce qui entraîne que ABC est rectangle en B : 4x=90 et x=22,5° .

Imod

par **lysli** » 06 Jan 2007, 17:19

Salut,

On fait comment pour démontrer que le triangle ABC est rectangle ? :lol2:
J'arrive pas depuis ce matin jsuis la dessus :briques: je suis bloquée a cette question mais la suite jai réussi

par math* » 06 Jan 2007, 17:29

Salut, Oui c'est aussi ça qui me pose problème.

par **sue** » 06 Jan 2007, 18:04

lysli a écrit:mais la suite jai réussi

en fait il y a pas de suite :lol5: la question était jutement ''montrer que le triangle est rectangle'' mais d'une manière implicite , sinon pour la ''suite'' il suffit d'écrire : 4x+90=180 donc x=22,5°

par **lexot** » 06 Jan 2007, 18:09

Bonjour

J'ai résolu cet énigme, mais après plusieurs heures de réflexion!!!
Si on démontre que le triangle est rectangle, l'énigme est résolue, car on peut déterminer tous les angles de la figure, en fonction de x, quand on ne connait pas leurs mesures. Je vais essayer de simplifier ma démonstration, car elle est longue....

Cordialement

par **rene38** » 07 Jan 2007, 00:19

Bonsoir
Contre-exemple faux => message effacé.

par **Imod** » 07 Jan 2007, 18:22

Bonjour rene ,

Je ne crois pas que ton contre-exemple en soit vraiment un , tes trois demi-droites : 20° , 60° et 45° ne vont pas concourir en un même point . La propriété est vraie , j'en ai une démonstration ( un peu lourde ) utilisant la trigonométrie et je suis persuadé qu'il en existe une bien plus légère , encore faut-il la trouver !!!!!

Imod

par **Imod** » 08 Jan 2007, 14:14

Ca y est j'ai la réponse ( ce n'est pas moi qui l'ai trouvée ) . La perpendiculaire à (AC) passant par D coupe (BC) en J , K et L les projetés orthogonaux de B sur (AC) et (DJ) . BKDL est un rectangle dont la diagonale est bissectrice des côtés , c'est donc un carré : BL=BK . Comme le triangle AJC est isocèle CAJ=x et BAJ=2x . En regardant les angles de ABC : ABC=180-4x et dans le triangle ABJ : BJA=2x donc ABJ est isocèle en B et BA=BJ . Alors les triangles ABK et BLJ sont égaux d'angles 90°,x,3x et x=22,5° .

Imod

par **crassus** » 08 Jan 2007, 16:21

Imod a écrit:Ca y est j'ai la réponse ( ce n'est pas moi qui l'ai trouvée ) . La perpendiculaire à (AC) passant par D coupe (BC) en J , K et L les projetés orthogonaux de B sur (AC) et (DJ) . BKDL est un rectangle dont la diagonale est bissectrice des côtés , c'est donc un carré : BL=BK . Comme le triangle AJC est isocèle CAJ=x et BAJ=2x . En regardant les angles de ABC : ABC=180-4x et dans le triangle ABJ : BJA=2x donc ABJ est isocèle en B et BA=BJ . Alors les triangles ABK et BLJ sont égaux d'angles 90°,x,3x et x=22,5° .

Imod

ABK possede un angle de 90 degre ?

par **Imod** » 08 Jan 2007, 16:27

crassus a écrit:ABK possede un angle de 90 degre ?

K est le projeté orthogonal de B sur (AC) .

Imod

par **crassus** » 08 Jan 2007, 16:38

NE SONT CE PAS ABL ET BJK LES DEUX TRIANGLES RECTANGLES ISOMETRIQUES ?

IL SEMBLE QUE ON OBTIENT JBK =90-2x ; AJB = 2x et ABL = 90-2x

puis JBD=45-2x il s'en suit ABJ=180-4x=LBK=90 ...ce qui prouve que ABC rectangle en B

par **Imod** » 08 Jan 2007, 16:44

On ne doit pas avoir la même figure , je te joins un dessin .

Imod

par **crassus** » 08 Jan 2007, 20:37

effectivement je n'ai plus mon brouillon devant les yeux mais j'ai intervertis K et L il me semble ... bien vu en tout cas la construction du carré ...

Enigme sur un triangle avec médiane (1èreS)

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