Encadrement d'une intégrale

[StePHOU]

Bonjour,

Je suis bloqué sur cette question :
https://www.cjoint.com/c/IAfmbiwpUI7

Je pensais faire : f(0) << f(x) <<f(1/2) (donc prendre tout simplement les bornes de l'intervalle)

Puis parler de la conservation de l'ordre et poser (avec comme bornes de l'intégrale 1/2 et 0) : {x²f(0) << {x²f(x) <<{x²f(1/2)

calculer ensuite les primitives de x²0x et x²1x/2 , calculer leur intégrale entre 0 et 1/2 et en déduire que l'intégrale de x²f(x) entre 0 et 1/2 était comprise entre ces 2 intégrales.

Qu'en pensez-vous ? Merci par avance.

[chan79]

Bonjour,

Je suis bloqué sur cette question :
https://www.cjoint.com/c/IAfmbiwpUI7

Je pensais faire : f(0) << f(x) <<f(1/2) (donc prendre tout simplement les bornes de l'intervalle)

salut
à condition de montrer que f est croissante sur cet intervalle

[pascal16]

variante 1
-> on a que des quantités positives, on peut encadrer le numérateur, le dénominateur et prendre les 'pires cas'.
soit exp(-1/2) ≤ f(x) ≤ 2

variante 2
-> f dérivable de dérivée continue sur un intervalle fermé atteint ses bornes :
_ soit aux bornes de l'intervalle
_ soit où la dérivée s'annule...
là, on démontre que ton encadrement est juste

[StePHOU]

En fait je me suis trompé, f(0) = 1 et non pas 0
et f(1/2) = 2e^(-1/2)
Donc 1<<f(x)<<2e^(-1/2)

J'ai tronqué l'énoncé, en fait dans un premier temps il est demandé d'étudier les variations de f définie sur [0 ; 1/2]
En calculant la dérivée, on voit que f est croissante et positive sur cet intervalle, avec comme minimum 1 et maximum 2e^(-1/2).
Ensuite vient cette question (lien url).

Ce que je voulais savoir c'est si ces calculs sont corrects :
calculer les primitives de 1x (x²) et 2e^(-1/2) x (x²) , calculer leur intégrale entre 0 et 1/2 et en déduire que l'intégrale de x²f(x) entre 0 et 1/2 était comprise entre ces 2 intégrales.