Démonstration d'encadrement d'intégrale terminale ES

[cabby]

Bonjour


J'ai une question au sujet d'une fonction g(x)=ln (1+ e^x)
On I qui est défini par OI=i (vecteur i)
A: point d'abscisse O de (L) qui est la courbe représentative de g(x)
B: son point d'abscisse 1

Il y a une question où il faut calculer une tangente en A à (L)

Puis c'est là que ça pose problème : on note P l'intersection de cette tangente avec le segment IB
Calculer les aires des trapèzes OIPA et OIBA

D'où ma question: est-ce qu'il faut indiquer l'unité c'est à dire cm²? On ne connait pas les unités sur les axes car à aucun moment il faut représenter cette courbe. On prend quoi comme uinité d'aire? u.a.= 1 cm* 1cm= 1cm²?

ça fait un moment que j'ai passé mon bac et je voulais savoir s'il y avait l'aire du trapèze à connaître. Bref c'est pas grave il fautr bien appliquer cette formule à savoir : (B+b)/2 * h

Autre question: est-ce qu'il faut indiquer valeur exacte de l'aire?

Autre question: on admet que (L) est située entre les segments AP et AB. Montrer alors que :

ln 2 + 1/4 <= Intégrale de g(x)d(x) <=ln RC (2(1+e)) Rc: racine carrée
(les bornes sont 0 et 1
comment faire ça proprement?

Puis dernière question: Au moyen d'une intégration par parties, on obtient:

Intégrale f(x)d(x) = ln (1+e) - Intégrale entre 0 et 1 g(x)d(x)

En déduire un encadrement de Intégrale f(x)d(x) avec comme bornes: 0 et 1


Merci par avance pour vos explications :id:

[becirj]

Bonjour

Première question : les unités n'étant pas précisées, il faut laisser la réponse en unites d'aire.

D'accord pour la formule de l'aire du trapèze.

Oui, il faut conserver la valeur exacte.

L étant située entre les segments [AP] et [AB] , l'aire de la surface limitée par L, les axes de coordonnées et la droite d'équation y=1 est comprise entre les aires des 2 trapèzes (qui ont du être calculées), ce qui donne la double inégalité demandée.

On part de l'encdrement précédent de , on multiplie par -1,ce qui change le sens de l'inégalité et on ajoute ln(1+e).

Bon courage