Domaine de definition x^x

[Nathanz]

Bonjour,

Pourquoi x^x est définit que sur R+ ? Car quand on calcule -2^-2 on obtient bien une valeur.
Or si on voit sous la forme exp(xln(x)), ici je comprends pourquoi R+.
Cependant si on regarde x^3, qui est bien définit sur R, sous la forme exponentielle, exp(3ln(x)) cela devrait aussi être R+ . Quelque chose m'échappe ici.

[Ben314]

Salut,
Il y a effectivement plusieurs définitions de a^b (qui donnent bien sûr le même résultat lorsque l'on est dans plusieurs domaines à la fois) :
1) Le truc basique, si b est un entier naturel non nul, a^b = a x a x ... x a (b fois) valable pour n'importe quel a réel, complexe, matrices, etc (tout ce qui peut se multiplier).
2) La constatation que a^(n+m) = a^n x a^m conduit à étendre la définition en posant a^0=1 et a^(-n)=1/a^n (n entier naturel), mais évidement, là, ce n'est plus valable que pour a non nul (et plus généralement, par exemple pour des matrices, il faut que a soit inversible).
3) La constatation que (a^n)^m=a^(nxm) conduit à étendre la définition en posant a^(1/2)=racine de a mais évidement, uniquement pour a positif ou nul. On pourrait aussi poser a^(1/3) = racine cubique de a qui existe pour tout a, positif ou pas, mais c'est pas forcément futé vu qu'il va y avoir des domain de de définitions différents pour les a^(p/q) en fonction de la parité de p et q. Donc en général, on considère que a^(p/q) est défini pour a positif ou nul si p/q est positif et pour a>0 si p/q est négatif.
4) Enfin, lorsque l'on voit les fonction logarithme et exponentielle on a une définition bien plus carrée pour les exposant non entiers, à savoir a^b=exp(b ln(a)), mais là, forcément, il faut que a>0 pour que ça ait du sens.

Et pour en revenir à ton problème, on pourrait certes dire que x^x est défini pour les entiers négatifs, voire même pour -1/3 en disant que x^(-1/3) c'est 1/racine cubique de x qui existe pour tout x non nul, quelque soit son signe. Sauf que ça serait super chiant vu que la formule x^x=exp(x ln(x)) ne serait valable que pour certains x du domaine de définition, mais pas tous.
Donc en général on ne s'emmerde pas et on décrète que x^x est uniquement défini pour x>0.