X^x domaine de définition

[Beta]

Bonjour,

j'ai une question petite qui me perturbe .
Voilà, le domaine de définition de est , car on peut écrire. Mais voilà est-ce que l'on ne peut pas justement écrire cela dû au domaine de définition. Par là, n'avons nous pas seulement une implication (domaine de définition => ) et sinon pourquoi ça réciproque.

Merci d'avance

Beta

[aymanemaysae]

Bonjour ;

Ne peut-on pas écrire : - 1 = 1/(- 1) = (- 1)^(- 1) ?

[Beta]

Merci pour votre réponse.

En effet, nous le pouvons, cela voudrait-il dire que ce domaine est R ?
Ainsi, nous n'aurions plus : pour tout x dans ce domaine.

[GaBuZoMeu]

Et qu'est-ce que ?

[Beta]

Merci pour votre réponse GaBuZoMeu,

J'ai un peu de mal à voir pourquoi cela n'est pas possible.
Pourriez-vous m'éclairer ?

[Black Jack]

Salut,

Le domaine de x^x n'est certainement pas R, par contre on peut "ergoter" pour savoir si c'est R+ ou R*+

Evidemment si on veut pouvoir écrire x^x = e^(x.ln(x)) et se limiter à cela ... alors c'est R*+, mais rien n'oblige à en rester là puisque par convention 0^0 = 1 (ceci n'a rien à voir avec des limites) et on peut alors écrire ceci :

x^x = e^(x.ln(x)) si x > 0
x^x = 1 si x = 0

Et alors le domaine de x^x est R+

[Beta]

Bonjour et merci Black Jack pour votre réponse.

Donc, si je comprends bien.
Si on veux cela : on impose forcément le domaine ou .
Mais alors, si on n'impose pas forcément qu'avons nous comme domaine ? car est possible.

Merci encore pour vos aides !

[LB2]

Edit : voir le post de mathelot

[mathelot]

[Black Jack]

Salut,

Oui et aussi :

(-2)^(-2) = 0,25
(-3)^(-3) = -0,037037...
...

mais par exemple (-2,3)^(-2,3) n'existe pas (du moins dans les réels)

Le plus "grand" domaine réel connexe pour x^x est R+

et on peut (mais c'est sans grande utilité pratique) ajouter à ce domaine connexe, les singletons de Z-

donc (pour les réels) x^x existe pour x dans Z- U R+

[Beta]

Merci infiniment pour vos réponses qui mon superbement éclairé.

Ainsi, (dans le cadre d'un exercice (supérieure)) si on me demande le domaine de définition. Je donne ? (car il manque l'union avec ) mais il peut être considéré comme inintéressant)

Par contre, j'ai un peu de mal à voir pourquoi pour x un irrationnel cela ne fonctionne pas. Pourriez vous m'expliquer ?

[Black Jack]

Salut,

Cela fonctionne avec tout x positif, irrationnel ou non. (V2)^(V2) = 1,632526...

Mais pour x négatif, cela n'est OK que pour x dans Z- , un irrationnel négatif n'est pas dans Z- et donc ...
Mais pas besoin d'être irrationnel, par exemple x = -2,3 n'est pas irrationnel ... et ne va pas non plus (pas dans Z-)

[Beta]

Je ne saurai vous remercier suffisamment pour votre aide.

Toutefois, une légère question est toujours présente. En effet, je ne vois pas pourquoi un nombre négative en dehors de Z ne fonctionne pas.

[Tuvasbien]

On a vu que est bien définie pour tout . Maintenant si , alors et si est entier, alors ça ne pose aucun problème de définition, en revanche si n'est pas entier, on pose avec (la partie entière de ) et (la partie fractionnaire de ). Alors , là ou est bien définie, ne l'est pas puisque et donc est une "racine -ième de " et la racine d'un nombre négatif n'est pas bien définie, même pas dans le complexe. Par exemple n'est pas de sens tout comme .

[Beta]

Géniale !

Tout est merveilleusement clair
Mille mercis !