Divisibilité par 11.

[lop]

Hello,
Je comprends pas comment résoudre ceci merci de m'éclairer :D

2 ep 12 3}+3 ex 12 1}
Multiple de 11 ?

Bonne soirée à tous.

[nodjim]

ce que je peux te dire, c'est que, 11 étant premier, Fermat a dit que a^10=1 [11]
si a premier avec 11, ce qui est le cas ici avec 2 et 3.
Essaye de t'en sortir avec ça.

[lop]

Je comprend pas trop Jai pas vu ça encore en première.
Tu pourrais me montrer le début s'il te plait ?

[zygomatique]

salut

fait un tableau de congruences des premières puissances de 2 et de 3 ... puis regarde ....

[lop]

Salut ,
Je vais peut être paraître stupide mais je ne sais pas ce qu'est un tableau de congruence...

Edit;
nodjim j'ai regardé de quoi tu me parles et c'est un modulo 11 , mais je n'ai pas vu ça moi encore :(

[WillyCagnes]

bsr

2^123 = 2^(3+10*12) = (2^3)*(2^10)^12 = 8*(2^10)^12
or a^10=1 [11]
ici a=2 pour 2^10

puis 3^121=3^(1+10*12)=(3^1)*(3^10)^12 = 3*(3^10)^12
ici a=3 pour 3^10

te laisse conclure la somme

[Lostounet]

Bonjour,
lop est en première il ne peut donc pas utiliser les congruences (c'est trivial en passant modulo 11).

[lop]

bonsoir willy,
d'abord merci pour ton aide,
je suis tes calculs mais à partie de "or a^10=1 [11]
ici a=2 pour 2^10" je ne comprends rien du tout.
edit:Comme Lostounet le dit je suis en première :( Personne aurait une idée niveau première :p ?

[zygomatique]

un tableau de congruence :

tu calcules 2^n (mod 11) pour n = 0, 1, 2, ....

et idem pour 3^n ...

puis tu sommes et tu regardes ...

peut se faire avec un tableur ....

[Lostounet]

ici a=2 pour 2^10" je ne comprends rien du tout.
edit:Comme Lostounet le dit je suis en première Personne aurait une idée niveau première :p ?

Bon, je pense que c'est un exo de recherche niveau 1ère. Je ne pense pas qu'on puisse ne pas utiliser au moins des notions d'arithmétique de base comme les congruences ou le petit théorème de Fermat.

Voici donc quelques pistes:

Méthode 1: Zygomatique
On utilise la fonction "% 11" d'un tableur. C'est une fonction qui renvoie le reste de la division euclidienne par 11. On peut donc essayer de calculer successivement ces restes de la division euclidienne de 3^n par 11 pour n allant de 1 à 121
Ensuite on peut faire la même chose pour 2^n jusqu'à 123

On en déduit le reste de la division euclidienne de 3^121 + 2^123

Méthode 2: Lostounet
Tu apprends ce que veut dire congruence et comment t'en servir :ptdr:

Méthode 3: Nodjim et Willy
On peut appliquer le petit théorème de Fermat: « si p est un nombre premier et si a est un entier non divisible par p, alors a^(p-1) – 1 est divisible par p. »

On applique ce théorème (que tu peux prouver par ailleurs mais c'est un peu dur en 1ere) pour p = 11

On pose , l'objectif est de prouver que ce nombre est un multiple de 11.





Or
Et


Appliquons le petit th. de Fermat: prenons a = 4096
a n'est pas un nombre multiple de p=11, cela signifie que a^(p-1)-1 est un multiple de 11, donc
4096^10 - 1 est multiple de 11
Par ce même théorème, 531441 n'est pas divisible par 11, donc 531441^{10} -1 est multiple de 11 !

Ainsi,
est la somme de 3 nombres multiples de 11

C'est un multiple de 11.
Il reste plus qu'à prouver le théorème aussi simplement que possible :ptdr:

[lop]

Salut,
Merci Lostounet pour ta réponse super détaille encore une fois je vais réfléchir :)

[nodjim]

Si on ne connait pas Fermat, le mieux est d'étudier les restes successifs des divisions par 11 des puissances de 2 et de 3 jusqu'à trouver une séquence de répétition.

[nodjim]

@Lostounet:
Par Fermat c'est bien plus court, ça se fait de tête:
2^(123)=8*2^120=8*1=8
3^121=3*3^120=3
8+3=11

[Lostounet]

@Lostounet:
Par Fermat c'est bien plus court, ça se fait de tête:
2^(123)=8*2^120=8*1=8
3^121=3*3^120=3
8+3=11

Certes, mais pour bien expliquer à un élève de 1ère sans les modulos..?
Je suis in pour une séquence de restes par contre!

[mathelot]

il faut lire

c'est bien ça ?
.

......................

[chan79]

Pas facile de s'y retrouver sans les congruences
Si on admet que, quels que soient les entiers et , est de la forme avec entier, ça peut se comprendre en 1S.







donc divisible par


Je suppose que le raisonnement par récurrence, c'est seulement en terminale ?

[Lostounet]

Si on admet que, quels que soient les entiers et , est de la forme avec entier, ça peut se comprendre en 1S.

Je suppose que le raisonnement par récurrence, c'est seulement en terminale ?

Si si la récurrence est vue en 1ere S ! Enfin à mon époque (pas très lointaine :ptdr: )
Pourquoi ne pas le voir comme une application au binome de Newton (que l'on peut montrer en 1ere)?
(11k + 1)^n = tous les termes en 11 + 11^0