Devoir sur les Fonctions

[mathilde.guelen]

Bopnjour j'ai un devoir maison a faire, qui est le suivant, et je n'arrive pas à le faire, pourriez vous m'aider ?
Merci beaucoup d'avance, pour votre aide !


Soit f une fonction definie sur R , strictement positive sur R, dérivable sur R tel que f' = f et vérifiant f(0) = 1 .
Nous allons déterminer l'unicité de cette fonction :

1) On suppose qu'il existe deux fonctions f et g vérifiant toutes ces hypothèses. On pose h = f/g .
Quel est le domaine de définition et h , de h' ?

2) Calculer h' .

3) En déduire que h est une fonction constante sur R.

4) En utilisant l'une des hypothèses, trouver la valeur de h.

5) Montrer alors que l'on aboutie à une absurdité et conclure.
Cette fonction est appelée fonction exponentielle, noté exp.




Voilà !

[Ericovitchi]

Les premières questions sont simples, ou est-ce que tu bloques ?
le domaine de définition de h, c'est le même que f et g sauf si g s'annule. Mais g ne s'annule pas, donc ???

et h', tu as calculé h' ?

[mathilde.guelen]

Le domaine de définition de h c'est R ?
Et pour h' c'est également R c'est bien ça ?


h' = (f'g - fg') / g²

?

[Ericovitchi]

oui mais f'=f et g'=g donc h'= ...

[mathilde.guelen]

Je trouve h' = (fg-fg)/g²
donc h' = 1/g²

h' toujours positif donc h est croissante ?
Mais ils veulent que ce soit constant !
Comment faire ?

[Ericovitchi]

Ho !!!!! fg-fg = 1 ??????????? non, 0
et si une dérivée est nulle, la fonction est constante

[mathilde.guelen]

Ha oui mince !
Merci ! !
Que signifie exactement trouver la valeur de h ?
C'est 0 ? 1 ?

[Ericovitchi]

tu as trouvé que h'(x)=0
tu en as déduis que la fonction h(x) était en fait une constante
donc h(x) prends toujours la même valeur donc par exemple h(0)
mais h(0)= f(0)/g(0) et on sait que f et g sont 2 fonctions telles que f(0)=1 et g(0)=1
donc h(x)=1
si h(x)=1 quelque soit x alors c'est que f(x)=g(x) quelque soit x et donc il n'existe pas deux fonctions f et g différentes vérifiant toutes ces hypothèses, et donc f est unique, ce que l'on voulait démonter :lol3: