Devoir maison

par **lasute** » 24 Fév 2009, 21:57

Bonjour, j'aurais souhaité obtenir un peu d'aide pour un exercice sur lequel je bloque.
Exercice:
Rappels:
-soit f une fonction définie sur un ensemble D et a un élément de D. Si f est dérivable en a, alors:
lim(pour h tend vers 0) f(a+h)-f(a)/h=f'(a) ou lim(pour x tend vers a) f(x)-f(a)/x-a=f'(a)
-si a et b sont deux nombres positifs, alors : racine de a-racine de b = a-b/racine de a +racine de b.
Applications: calculer les limites suivantes:
lim(pour x tend vers 0) sinx/x
lim(pour x tend vers 0)(cos2x-1)/x
lim(pour x tend vers 3)(racine de 3x-3)/x-3
lim(pour x tend vers -infini) (racine de 4x²-9 -2*racine de x²+5)

Est ce que quelqu'un pourrait en me disant tout d'abord comment faire pour calculer la première limite car je n'ai jamais fait avec les sinus et cosinus.
???

par **XENSECP** » 24 Fév 2009, 22:01

Bah il suffit de connaître la dérivée au point considéré ;)

par **lasute** » 24 Fév 2009, 22:24

donc il faut que je calcule la dérivée en a ??

par **XENSECP** » 24 Fév 2009, 22:29

bah ça dépends mais bon...

Tu as une tonne de façon de déterminer la limite alors à toi de voir celle que tu préfères ;)

par **Huppasacee** » 24 Fév 2009, 23:05

on peut écrire

par **lasute** » 24 Fév 2009, 23:32

mais comment ça se fait que l'on peut écrire comme ça?

par **Huppasacee** » 24 Fév 2009, 23:49

du moment que l'égalité est vraie , on peut écrire la fraction de la façon qui nous arrange
sinx = sinx - 0 = sinx - sin(0)

et
x = x-0

par **lasute** » 25 Fév 2009, 12:07

N'ayant jamais du calculer de limites avec des sinus et cosinus je ne comprends pas en quoi le fait de savoir que sinx/x=sin(x)-sin(o)/x-0 nous permet d'arriver à calculer la limite en 0 ???

par **lasute** » 25 Fév 2009, 13:50

Et est ce que si je fait ça c'est bon ?:
Pour lim (x tend 0)sinx/x
sinx/x=sinx-sin0/x-0
d'où lim(x tend 0)sinx/x=lim(x tend 0)sinx-sin(0)/x-0=sin'(0)=cos0=1
Est ce que c'est bon comme ça ou pas ???

par **lasute** » 25 Fév 2009, 14:08

Et est ce que pour lim (x tend 3) (racine de 3x -3)/x-3 c'est
lim (x tend a) f(x)-f(a)/x-a=f'(a)
donc lim (x tend 3) (racine de 3x -3)/x-3= f'(3)=0
est ce que c'est ça ou est ce que je n'ai pas fait une erreur ??

par **lasute** » 25 Fév 2009, 15:09

3$\rm \lim_{x\to 0} \frac{cos(2x)-1}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{u(x)-u(0)}{x-0}=u'(0)=-2sin(2\times 0)=0

par **lasute** » 25 Fév 2009, 15:14

Et est ce que pour lim (x tend 3) (racine de 3x -3)/x-3 c'est
lim (x tend a) f(x)-f(a)/x-a=f'(a)
donc lim (x tend 3) (racine de 3x -3)/x-3= f'(3)=0
est ce que c'est ça ou est ce que je n'ai pas fait une erreur ??

par **lasute** » 25 Fév 2009, 18:58

Et est ce que pour lim (x tend 3) (racine de 3x -3)/x-3 c'est
lim (x tend a) f(x)-f(a)/x-a=f'(a)
donc lim (x tend 3) (racine de 3x -3)/x-3= f'(3)=0
est ce que c'est ça ou est ce que je n'ai pas fait une erreur ??

par **LeFou.** » 25 Fév 2009, 19:10

Tu es que c'est pas plutot

??

Se serait plus logique

Si c'est le cas, ton raisonnement et ta réponse sont justes.

par **Huppasacee** » 25 Fév 2009, 19:12

ce sont les bonnes démarches

et , pour généraliser

si on cherche la limite quand x tend vers a de f(x) /g(x)

dans le cas où f(a) = 0
et g(a) = 0

on peut calculer f '(a) et g '(a)
et la limite cherchée est f '(a) / g '(a)

par **lasute** » 25 Fév 2009, 21:48

et est ce que pour lim (x tend 0) cos2x-1/x:
En totant u(x)=cos2x
lim (x tend 0) cos2x-1/x = lim (x tend 0) u(x)-u(0)/x-0=u'(o)=-sin(2*0)=-sin0=0
est ce que c'est bon ou pas ???

par **lasute** » 25 Fév 2009, 22:07

Par contre je ne vois pas comment faire pour la dernière, j'aurais pensé utiliser la formule: racine de a - racine de b=a-b/racine de a+racine de b, mais j'arrive à:lim (x tend -infini)racine de (4x²-9)-2*racine de (x²+5) = 4x²-9-2(x²+5)/racine de (4x²-9) - 2*racine de (x²+5) mais par contre pour là je ne suis pas sur que se soit bon quand je met pour -2(x²+5), je ne sais pas si c'est bon parce que vu que le 2 était multiplié à la racine je ne sais pas si c'est bon de multiplier 2 à x²+5
parce que si je fais ça et que je calcule j'obtiens: 2x²-19/racine de (4x²-9) - 2*racine de (x²+5) ???

par **Huppasacee** » 26 Fév 2009, 01:45

lasute a écrit:et est ce que pour lim (x tend 0) cos2x-1/x:
En totant u(x)=cos2x
lim (x tend 0) cos2x-1/x = lim (x tend 0) u(x)-u(0)/x-0=u'(o)=-sin(2*0)=-sin0=0
est ce que c'est bon ou pas ???

la dérivée de cos 2x est -2 sin 2x
cela ne change pas le résultat de la limite , mais rend la rédaction plus juste

par **Huppasacee** » 26 Fév 2009, 01:49

Pour la dernière , il n'y a aucune indétermination

par contre , dans chaque racine , on peut mettre x² en facteur

et sortir |x| de chaque racine

on détermine alors la limite de ce qui reste sous chaque radical et conclure

par **lasute** » 26 Fév 2009, 13:14

je ne comprend pas trop comment est ce que tu me dis de faire mais est ce que ce qu'on obtient c'est :
(racine de 4x²-9)-2*(racine de x²+5)= (racine de x²(4-9/x²))-2(racine de x²(1+5/x))???
en fait je ne vois pas comment on fait pour sortir |x| de chaque racine ??
et est ce que l'on a besoin d'utiliser la formule : racine de a- racine de b=a-b/racine de a+racine de b???

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