Devoir maison

[lasute]

Bonjour, j'aurais souhaité obtenir de l'aide pour un exercice dont je ne suis incertain de la réponse.

Exercice:

Soit f la fonction définie par f(x)= -x²+5x-10/x-2

1- Déterminer les réels a, b, c tels que f(x) = ax+b+c/x-2.
2- Etudier la fonction f (limites, asymptotes éventuelles, sens de variation, tableau de variation).
3- Tracer la courbe représentative de f dans un repère correctement choisi.

J'ai tout d'abord fait pour la question1:
f(x)=ax+b+c/x-2 pour tout x appartenant à R-{2} équivaut à:
-x²+5x-10/x-2 = ax²-ax+bx-b+c/x-2
-x²+5x-10/x-2 = ax²+(-a+b)x-b+c/x-2

-x²+5x-10 = ax²+(-a+b)x-b+c, pour tout x appartenant à R-{2}. Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients des termes de même degré sont égaux.
a=-1
-a+b=5
-b+c=-10

a=-1
b=5+a=5-1=4
c=-10+b=-6

D'où f(x)=-x+4-6/x-2

Est ce que c'est bon ??

2. f(x)= -x²+5x-10/x-2
f est définie sur ]-infini;2[U]2;+infini[

Limite en -infini et en +infini:
f(x)=-x+4-6/x-2

lim (-x+4) x tend vers -infini = - infini mais je ne sais pas si c'est bon ou si c'est pas plutôt + infini puisque si x c'est - infini alors -x c'est + infini
non ?? c'est juste là que je bloque

[greg78]

Il me semble qu'il y a une erreur quand tu met au meme dénominateur, car on obtient
Du coup, les constantes sont fausses.
Et pour l'autre question, quand x tend vers -00, on a bien -x tend vers +00

[yvelines78]

bonjour,

f(x) = (ax+b)+c/(x-2).
=[ax(x-2)+b(x-2)+c]/(x-2)
=(ax²-2ax+bx-2b+c)/(x-2)
=(ax²+x(b-2a)+(c-b))/(x-2)

[lasute]

en fait, j'ai mis -x²+5x-10/x-2 = ax²-ax+bx-b+c/x-2+
-x²+5x-10/x-2 = ax²+(-a+b)x-b+c/x-2 parce que j'ai déjà fait un exercice là dessus et dans la correction la formule c'était celle là pour le dénominateur:ax²-ax+bx-b+c je ne voyais pas au début comment faire et je me suis rappelé que j'avais un exercice du même genre, donc j'ai fait à peu près pareil en pensant que cela marcherait pour cet exercice aussi, mais là comme c'est pas bon je ne vois pas comment faire la question 1.

[lasute]

a d'accord mais donc c'est (ax²+x(b-2a)+(c-b))/(x-2)
ax²+(b-2a)x+(c-2b)/2 ???

[lasute]

Est ce que si je prend la formule de greg78 et que je fais:
f(x)=-x²+5x-10/x-2
1.f(x)=(ax+b)+c/x-2 pour tout x appartenant R-{2}.
D'où -x²+5x-10/x-2 = (ax(x-2)+b(x-2)+c)/x-2
-x²+5x-10/x-2 = (ax²-2ax+bx-2b+c)/x-2
-x²+5x-10/x-2 = ax²+x(b-2a)+(c-2b)/x-2

-x²+5x-10 = ax²+x(b-2a)+(c-2b), pour tout x appartenant R-{2}.
Or; deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients des termes de même degré sont égaux.
a=-1
b-2a=5
c-2b=-10

a=-1
b=5+2a=5-2=3
c=-10+2b=-10+6=-4

D'où f(x)=-x+3-4/x-2
est ce que si je met ça c'est bon ???

[LeFou.]

Oui, je suis nouveau ici mais je peux te certifié que c'est bon maintenant.

[lasute]

A d'accord, merci.
Et pour la question 2:
f(x)= -x²+5x-10/x-2
f est définie sur ]-infini;2[U]2;+infini[
Limite en -infini et en +infini:
f(x)=-x+3-4/x-2
lim(-x+3) (pour x tend vers -infini)=+infini
lim(-4/x-2) (pour x tend vers -infini)= 0
Donc lim f(x) (pour x tend vers -infini)=+infini

lim(-x+3) (pour x tend vers +infini)=-infini
lim(-4/x-2) (pour x tend vers +infini)= 0
Donc lim f(x) (pour x tend vers +infini)=-infini

Limite en 2:
f(x)= -x²+5x-10/x-2
lim(-x²+5x-10) (pour x tend vers 2)= -4+10-10=-4
lim(x-2) (pour x tend vers 2 et pour x>2)=+0
donc lim f(x) (pour x tend vers 2 et pour x>2)=-infini

lim(x-2) (pour x tend vers 2 et pour x<2)=-0
donc lim(x-2) (pour x tend vers 2 et pour x<2)= +infini
Donc la droite d'équation x=2 est asymptote à la courbe C de f.

f(x)=-x+3-4/x-2
D'où f(x)-(-x+3)=-4/x-2
lim[f(x)-(-x+3)] (pour tend vers -infini)=lim(-4/x-2) (pour x tend vers -infini)= 0
lim[f(x)-(-x+3)] (pour tend vers +infini)=lim(-4/x-2) (pour x tend vers +infini)= 0
Donc la droite d'équation y=-x+3 est asymptote à la courbe C de f au voisinage de -infini et de +infini.

Est ce que pour le moment, pour les limites et les asymptotes c'est bon ou pas ???

[greg78]

oui, ca a l'air tout bon.
Seule chose a ajouter eventuellement pour l'asymptote, c'est la position de la courbe par rapport à celle-ci

[lasute]

et comment on fait cela ??

[lasute]

Sens de variation:
f est dérivable sur ]-infini;2[U]2;+infini[
f(x)=-x+3-4/x-2=-x+3-4*1/x-2
Dérivée:
f''(x)=-1-4*-1/(x-2)²
f'(x)=-1+4/(x-2)²
Pour tout x appartenant à R-{2}, 4/(x-2)²>0
donc -1+4/(x-2)²>-1
D'où f'(x)>0 pour tout x appartenant à R-{2}.
Donc la fonction f est croissante sur ]-infini;2[ et sur ]2;+infini[.
Est ce que c'est bon ou pas ??? parce que je ne suis pas sur que se soit la bonne réponse.

[greg78]

Depuis quand est ce que etre supérieur a -1 implique positif. -, c'est positif ?
Pour ta dérivée, reprend la premiere expression, tu trouveras . Le numérateur est négatif sur ]-00,0]U[4,+00[ et positif sur [0,4].
D'où le signe de la dérivée, négative sur ]-00,0]U[4,+00[ et positive sur [0,2[U]2,4]
Et tu as alors la variation.

[lasute]

a oui je me suis trompé, donc on obtient avec la rédaction:
f(x)=-x²+5x-10/x-2
f est dérivable sur ]-infini;2[U]2;+infini[
f=u/v
avec u(x)=-x²+5x-10 et v(x)=x-2
d'où u'(x)=-2x+5 et v'(x)=1
Dérivée:
f'=u'v-uv'/v²
f'(x)=(-2x+5)(x-2)-(-x²+5x-10)/(x-2)²
f'(x)=-2x²+4x+5x-10+x²-5x+10/(x-2)²
f'(x)=-x²+4x/(x-2)²=-x(x-4)/(x-2)²
par contre est ce que l'on peut mettre aussi que f'(x)=x(-x+4)/(x-2)² puisque au final ça ne change rien, enfin je crois ????
Donc après je met:
(x-2)² est strictement positif, donc f'(x) dépend du signe de -x(x-4).
Puis je fais le tableau de signe
et je met:
D'où -x(x-4)<0 si x appartient à ]-infini;0[U]4;+infini[.
-x(x-4)>0 si x appartient à ]0;4[.
Par contre est ce que je dois mettre ou pas -x(x-4)=0 si x=0 ou x=4???
Donc la fonction f est croissante sur ]0;4[.
La fonction f est décroissante dur ]-infini;0[ et sur ]4,+infini[
Puis je finit par faire le tableau de variation avec comme image de 0 on a 5 et pour image de 4 on a -3.
Est ce que c'est bon ou pas ??

[lasute]

a oui je me suis trompé, donc on obtient avec la rédaction:
f(x)=-x²+5x-10/x-2
f est dérivable sur ]-infini;2[U]2;+infini[
f=u/v
avec u(x)=-x²+5x-10 et v(x)=x-2
d'où u'(x)=-2x+5 et v'(x)=1
Dérivée:
f'=u'v-uv'/v²
f'(x)=(-2x+5)(x-2)-(-x²+5x-10)/(x-2)²
f'(x)=-2x²+4x+5x-10+x²-5x+10/(x-2)²
f'(x)=-x²+4x/(x-2)²=-x(x-4)/(x-2)²
par contre est ce que l'on peut mettre aussi que f'(x)=x(-x+4)/(x-2)² puisque au final ça ne change rien, enfin je crois ????
Donc après je met:
(x-2)² est strictement positif, donc f'(x) dépend du signe de -x(x-4).
Puis je fais le tableau de signe
et je met:
D'où -x(x-4)<0 si x appartient à ]-infini;0[U]4;+infini[.
-x(x-4)>0 si x appartient à ]0;4[.
Par contre est ce que je dois mettre ou pas -x(x-4)=0 si x=0 ou x=4???
Donc la fonction f est croissante sur ]0;4[.
La fonction f est décroissante dur ]-infini;0[ et sur ]4,+infini[
Puis je finit par faire le tableau de variation avec comme image de 0 on a 5 et pour image de 4 on a -3.
Est ce que c'est bon ou pas ??

[lasute]

a oui je me suis trompé, donc on obtient avec la rédaction:
f(x)=-x²+5x-10/x-2
f est dérivable sur ]-infini;2[U]2;+infini[
f=u/v
avec u(x)=-x²+5x-10 et v(x)=x-2
d'où u'(x)=-2x+5 et v'(x)=1
Dérivée:
f'=u'v-uv'/v²
f'(x)=(-2x+5)(x-2)-(-x²+5x-10)/(x-2)²
f'(x)=-2x²+4x+5x-10+x²-5x+10/(x-2)²
f'(x)=-x²+4x/(x-2)²=-x(x-4)/(x-2)²
par contre est ce que l'on peut mettre aussi que f'(x)=x(-x+4)/(x-2)² puisque au final ça ne change rien, enfin je crois ????
Donc après je met:
(x-2)² est strictement positif, donc f'(x) dépend du signe de -x(x-4).
Puis je fais le tableau de signe
et je met:
D'où -x(x-4)<0 si x appartient à ]-infini;0[U]4;+infini[.
-x(x-4)>0 si x appartient à ]0;4[.
Par contre est ce que je dois mettre ou pas -x(x-4)=0 si x=0 ou x=4???
Donc la fonction f est croissante sur ]0;4[.
La fonction f est décroissante dur ]-infini;0[ et sur ]4,+infini[
Puis je finit par faire le tableau de variation avec comme image de 0 on a 5 et pour image de 4 on a -3.
Est ce que c'est bon ou pas ??

[lasute]

a oui je me suis trompé, donc on obtient avec la rédaction:
f(x)=-x²+5x-10/x-2
f est dérivable sur ]-infini;2[U]2;+infini[
f=u/v
avec u(x)=-x²+5x-10 et v(x)=x-2
d'où u'(x)=-2x+5 et v'(x)=1
Dérivée:
f'=u'v-uv'/v²
f'(x)=(-2x+5)(x-2)-(-x²+5x-10)/(x-2)²
f'(x)=-2x²+4x+5x-10+x²-5x+10/(x-2)²
f'(x)=-x²+4x/(x-2)²=-x(x-4)/(x-2)²
par contre est ce que l'on peut mettre aussi que f'(x)=x(-x+4)/(x-2)² puisque au final ça ne change rien, enfin je crois ????
Donc après je met:
(x-2)² est strictement positif, donc f'(x) dépend du signe de -x(x-4).
Puis je fais le tableau de signe
et je met:
D'où -x(x-4)<0 si x appartient à ]-infini;0[U]4;+infini[.
-x(x-4)>0 si x appartient à ]0;4[.
Par contre est ce que je dois mettre ou pas -x(x-4)=0 si x=0 ou x=4???
Donc la fonction f est croissante sur ]0;4[.
La fonction f est décroissante dur ]-infini;0[ et sur ]4,+infini[
Puis je finit par faire le tableau de variation avec comme image de 0 on a 5 et pour image de 4 on a -3.
Est ce que c'est bon ou pas ??

[LeFou.]

Tout me paraît juste en tout cas :)

[lasute]

a d'accord
bon il me restera juste à faire la représentation graphique.
en tout cas merci