Devoir de maison

[lasute]

Bonjour, j'aurais souhaité obtenir un peut d'aide pour mon devoir de maison, sur le barycentre, que je n'arrive pas. Voila l'exercice:
On considère un quadrilatère non croisé ABCD. On appelle F le milieu du segment [AD], G le centre de gravité du triangle ABC et E le point tel que: vecteur BE = vecteur DC.
1) Déterminer trois réels x, y et z tels que D soit le barycentre de (E;x), (B;y) et (C;z).
2) Exprimer F comme barycentre de A et D.
3) En déduire que F est le barycentre de (A;1), (B;1), (C;1) et (E,-1), puis que les points E, F et G sont alignés.

J'ai fait pour les deux premières questions (par contre je ne suis pas sur que c'est bon):

Juste pour dire, lorsque je met V BE je dis vecteur BE.

1) V BE = V DC
D'où V BD +V DE = V DC
V DE - V DB -V DC = V 0
Or 1-1-1=-1 et -1 est différent de 0.
Donc D est le barycentre des points pondérés (E;1), (B;-1), (C;-1).

2) On sait que F est le milieu du segment [AD].
Or l'isobarycentre de deux points distincts A et D est le milieu du segment [AD].
Donc F est l'isobarycentre des points A et D.
D'où F est le barycentre des points pondérés (A;1) et (D;1).

Et c'est pour la question 3 que je bloque.

[lasute]

merci de me répondre

[lasute]

Quelqu'un peut m'aider ?

merci

[lasute]

Quelqu'un peut il m'aider
merci

[Sa Majesté]

Salut
Jusque là tout est bon
Alors :
D est le barycentre des points pondérés (E;1), (B;-1), (C;-1)
F est le barycentre des points pondérés (A;1) et (D;1)

Tu as dû voir que
Si G barycentre de {(A;a),(B;b),(C;c)} et b+c différent de 0
Alors G barycentre de {(A;a),(D;b+c)} où D barycentre de {(B;b),(C;c)}

Il suffit d'appliquer cette propriété

[lasute]

l'associativité du barycentre ??

[Sa Majesté]

Oui c'est ça !

[lasute]

Mais ce que je ne comprend pas c'est comment est ce que l'on passe de (B;-1), (C;-1), (E;1) à (B;1), (C;1), (E;-1) ??

[Sa Majesté]

Parce que tu peux multiplier tous les coef par un même réel non nul (ici c'est -1)
Tu as écrit au 1)
V DE - V DB -V DC = V 0
Mais tu aurais pu écrire
- V DE + V DB +V DC = V 0
Ce qui t'aurait donné D barycentre de (B;1), (C;1), (E;-1)

Il n'y a pas unicité du triplet (x,y,z) demandé dans le 1)
D est aussi barycentre de (B;2), (C;2), (E;-2), etc ...

Ici comme tu as F est le barycentre des points pondérés (A;1) et (D;1)
tu dois remplacer D par un système dont la somme des coef est 1

[lasute]

On sait que D est le barycentre des points pondérés (E;1), (B,-1), (C-1) et que F est le barycentre des points pondérés (A;1) et (D;1)
F est donc le barycentre de (A;1), (E;1), (B;-1), (C;-1).
Or d'après homogénéité du barycentre, F est le barycentre des points (A;1), (E;-1*1),(B;-1*-1), (C;-1*-1).
C'est à dire que F est le barycentre des points pondérés (A;1), (B;1), (C;1) et (E;-1).
C'est bon comme ça ou pas parce que je sais pas si je peut ne pas multiplier le point A par -1 avec cette propriété ???

[lasute]

et donc dans ce cas là, la somme des coefficients pour le point D est 1+1-1=1

[lasute]

c'est bon ??

[lasute]

Pour dire si les points E, F et G sont alignés j'avais pensé mettre:
On sait que F est le barycentre des points pondérés (A;1), (B;1), (C;1), (E;-1).
De plus, G est le centre de gravité du triangle ABC.
Or; l'isobarycentre de trois points non alignés, A,B et C est le centre de gravité du triangle ABC.
Donc G est l'isobarycentre des points A,B et C.
D'où G est le barycentre des points pondérés (A;1), (B;1) et (C;1).
Alors d'après le théorème du barycentre partiel, F est le barycentre des points pondérés (G;3), (E;-1).
Par conséquent les points E, F et G sont alignés.

[lasute]

Par contre je sais pas si c'est bon comme ça ou pas ?

[Sa Majesté]

On sait que D est le barycentre des points pondérés (E;1), (B,-1), (C-1) et que F est le barycentre des points pondérés (A;1) et (D;1)

OK

F est donc le barycentre de (A;1), (E;1), (B;-1), (C;-1).

Non !
Tu dois remplacer D par un système dont la somme des coef est 1
Alors que tu as remplacé D par un système dont la somme des coef est -1

Il faut dire : D est le barycentre des points pondérés (E;1), (B,-1), (C,-1)
D est aussi le barycentre des points pondérés (E;-1), (B,1), (C,1) dont la somme des coef vaut 1
F est donc le barycentre de (A;1), (E;-1), (B;1), (C;1).

[Sa Majesté]

Pour dire si les points E, F et G sont alignés j'avais pensé mettre:
On sait que F est le barycentre des points pondérés (A;1), (B;1), (C;1), (E;-1).
De plus, G est le centre de gravité du triangle ABC.
Or; l'isobarycentre de trois points non alignés, A,B et C est le centre de gravité du triangle ABC.
Donc G est l'isobarycentre des points A,B et C.
D'où G est le barycentre des points pondérés (A;1), (B;1) et (C;1).
Alors d'après le théorème du barycentre partiel, F est le barycentre des points pondérés (G;3), (E;-1).
Par conséquent les points E, F et G sont alignés.

Oui ça c'est bon ! :++:

[lasute]

cela donne pour F barycentre de (A;1), (B;1), (C,1) et (E;-1):

On sait que D est le barycentre des points pondérés (E;1), (B,-1), (C-1) et que F est le barycentre des points pondérés (A;1) et (D;1).
Or, d'après l'homogénéité du barycentre, D est le barycentre des points pondérés (E;-1), (B;1), (C;1) car -1+1+1 est différent de 0.
De plus, F est le barycentre de points pondérés (A;1) et (D,1).
D'où, F est le barycentre des points pondérés (A;1), (B;1), (C;1) et (E;-1).

c'est bon comme ça?? par contre je sais pas si il faut ou pas que je montre par quoi je multiplie (E;1), (B;-1), (C;-1), c'est à dire que sais pas si je met comme ça (E;1*-1), (B;-1*-1), (C;-1*-1) pour pouvoir dire après (E;-1), (B;1), (C;1) ???