Devoir maison

[oceane5]

Bonjour, je fais mon DM mais j'ai doute sur les méthodes que j'ai utilisé ainsi que mes calcules.
Voilà le sujet:
Chaque année un terrain de stade a un taux de réabonnement de 80% ainsi que l'apparition de 4000 nouveaux abonnés. On note a(n) le nombre de nouveaux abonés à la fin de la n-ième année et on précise que a0=7000.

1)Expliquer pourquoi, pour tout nombre entier naturel n, on a a(n)+1 =0.8a(n)+4000
2)Démontrer que a(n) est majorée par 20 000.
3)démontrer que la suite a(n) est croissante.

Voici ce que j'ai fais:
1)a0+1=0.8*7000+4000=9600
2)a(n)=0.8(puissance n)+4000
_Initialisation:
a(n)=0.8*(puissance 7000)+4000=4000 donc a(n) <20 000
_Héreditaire:
Soit un entier naturel n> ou = 1, supposons que a(n) soit vraie montrons que a(n+1) est vraie, c'est-à-dire que a(n+1) = 0.8(puissance n+1)+4000
_HR:
a(n+1)=0.8(puissance n)+4000
a(n+1) = 0.8*(0.8(puissance n)+4000)
a(n+1) = 0.8(puissance n+1)+3 200
a(n+1) = 0.8(puissance n+1)+3 200+4000
a(n+1)= 0.8(puissance n+1)+7 200 donc a(n+1) est faux
_Conclusion:
a(n) n'est pas majorée par 20 000.
3) Je n'ai pas su le faire.

[Sylviel]

Hum, alors, en fait tu n'as pas répondu à la question 1, tu n'as pas su montrer la 2 et tu n'arrives pas à faire la 3 ?

1) il faut expliquer d'où vient la relation.
2) je ne comprends pas grand chose à ce que tu écris. Ici l'hypothèse de récurrence c'est (Hn) : "a_n <= 20000".
Il faut initialiser en vérifiant H0, puis supposer Hn pour montrer Hn+1.
3) montre que a_{n+1} - a_{n} est positif