Déterminer la limite d'une suite définie par récurrence.

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psp
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Déterminer la limite d'une suite définie par récurrence.

par psp » 09 Sep 2012, 18:21

" Soit a E R+*, On considère la suite réelle (Un, n E N) définie par récurrence par :

Uo = 1
Quelque soit n E N, Un+1 = 1/2(Un + a/Un)

Alors la suite (Un, n E N) converge vers racine de a quand n tend vers l'infini.

Rédigez avec soin la preuve du résultat suivant.

Je n'arrive pas à formuler un raisonnement clair justifiant la proposition ci dessus.

Je pense à choisir un a E R+*, puis effectuer une série de calcul montrant que la suite est majorée par racine de a.

A vos claviers, merci pour votre aide



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ampholyte
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par ampholyte » 09 Sep 2012, 18:30

psp a écrit:" Soit a E R+*, On considère la suite réelle (Un, n E N) définie par récurrence par :

Uo = 1
Quelque soit n E N, Un+1 = 1/2(Un + a/Un)

Alors la suite (Un, n E N) converge vers racine de a quand n tend vers l'infini.

Rédigez avec soin la preuve du résultat suivant.

Je n'arrive pas à formuler un raisonnement clair justifiant la proposition ci dessus.

Je pense à choisir un a E R+*, puis effectuer une série de calcul montrant que la suite est majorée par racine de a.

A vos claviers, merci pour votre aide


Bonjour,

Comme tu l'as dit dans ton titre, tu vas devoir utiliser la récurrence pour prouver ton résultat.
Ton hypothèse de récurrence est "Pour tout a appartenant à R+, Un converge vers racine de a quand n tend vers l'infini"

1) Initialisation :
Tu vérifies que c'est vrai pour n = 0 (avec ton expression)

2) Tu supposes que Un+1 est vrai et donc que Un+1 = 1/2(Un + a/Un) tend vers racine de a quand n tend vers +oo

Tu calcules Un+2 et tu vérifies que la limite quand n tend vers +oo est bien racine de a

Petit conseil n'oublie pas les propriétés des règles de calculs sur les limites :lol3:

3) Tu conclus

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Rockleader
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par Rockleader » 09 Sep 2012, 18:31

Déjà est ce que tu connais le principe d'une démonstration par récurrence ?


Celle-ci doit se dérouler en deux étapes bien précise.


Tout d'abord tu as l'Initialisation. Tu dois montrer que ta propriété est vrai pour un certain rang de n.
EN loccurence n=0

Il s'agit surtout de mettre une évidence sur papier, mais toute la démonstration par de là.



La seconde étape est appelé l'Hérédité.

C'est ce qui te permet de passer de ton hypothèse vrai au rang n; à une propriété vrai au rang n+1 et ce par le biais d'une hypothèse de récurrence.
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !

Luc
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par Luc » 09 Sep 2012, 18:36

Salut,
je ne vais pas répéter ce qui a été dit mais pour info, la suite que tu étudies s’appelle la méthode de Héron (du mathématicien grec Héron d'Alexandrie), pratiquée par les Babyloniens dans l’Antiquité pour extraire des racines carrées a la main. Il est important d'avoir l’interprétation géométrique de cette suite : construire un carré de même aire qu'un rectangle donné de côtés 1 et a.

psp
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par psp » 09 Sep 2012, 18:52

Pour information c'est un exercice donné à préparer pour un TD en fac de maths.
Le raisonnement par récurrence ne marche pas ici, en partie car à l'initialisation on ne peut pas vérifier la propriété. Essayez vous verrez.

Luc
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par Luc » 09 Sep 2012, 18:55

psp a écrit:Le raisonnement par récurrence ne marche pas ici

Si. Tout dépend de la propriété que tu veux démontrer.
psp a écrit:à l'initialisation on ne peut pas vérifier la propriété. Essayez vous verrez.

Quelle propriété?

psp
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par psp » 09 Sep 2012, 18:56

La suite Un, n E N converge vers racine de a quand n tend vers l'infini.

Luc
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par Luc » 09 Sep 2012, 19:00

psp a écrit:La suite Un, n E N converge vers racine de a quand n tend vers l'infini.

Cette propriété ne dépend pas de l'entier n...

psp
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par psp » 09 Sep 2012, 19:04

Éclaires moi là j'ai beaucoup de mal à te suivre.

Luc
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par Luc » 09 Sep 2012, 19:11

psp a écrit:Éclaires moi là j'ai beaucoup de mal à te suivre.

La propriété "la suite converge vers a en l'infini" ne dépend absolument pas de l'entier n. On ne peut donc évidemment pas la démontrer par récurrence. Par contre on peut montrer quelque chose par récurrence qui impliquera cette convergence.

 

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