Dérivée d'une somme infinie

par **egan** » 12 Juil 2009, 12:25

Bonjour,
Est-ce que l'on peut dériver une somme infinie comme celle-là:

,x réel et n entier naturel non nul.
Si oui cela permetterait de démontrer la décomposition en série entière de l'exponentielle.
C'est un peu long à taper mais en dérivant, on trouverait que

, f'(x)=f(x) donc f(x)=

, k réel.
Avec les conditions initiales, f(0)=1, on aurait donc f(x)=

par **skilveg** » 12 Juil 2009, 12:39

Oui, il y a des théorèmes généraux qui permettent de dériver ce genre de séries entières. On les voit en général en maths spé.

Par ailleurs avec ces outils-là l'exponentielle est d'abord définie comme une série, dont on vérifie ensuite qu'elle satisfait l'équation différentielle à laquelle on s'attend.

En espérant avoir répondu à ta question...

par **egan** » 12 Juil 2009, 13:16

C'est interressant ce que tu me dis là. ^^
Donc on ne peut pas aborder ces études là en terminale non ? Ce que j'ai fait est incomplet non ?

par **skilveg** » 12 Juil 2009, 18:19

Disons qu'on ne peut pas toujours intervertir deux limites (et là c'est le cas: limite et dérivée). Ce qui manque, c'est donc un argument pour justifier ça.

Sinon on peut aussi travailler formellement dans l'algèbre des séries formelles, considérer la série formelle

et se rendre compte qu'elle est égale à sa dérivée (la dérivée étant définie pour les séries formelles comme pour les polynômes). Mais ça ne suffit pas pour dire des trucs sur des fonctions définies sur

ou

.

par **egan** » 12 Juil 2009, 19:15

Qu'entends-tu pas intervertir des limites ?
Cela veut dire que pour deux limites quelconques lim(1) et lim(2), lim(1)lim(2) pourrait être différent de lim(2)lim(1).
Ici le problème se pose plutôt comme ça non ?
Est-ce que lim(a)[lim(1)+lim(2)+...+lim(n)]=lim(a)lim(1)+...+lim(a)lim(n) ?
(Toutes les limites sont quelconques ici aussi.)

par **skilveg** » 12 Juil 2009, 19:36

Non, ce que je voulais dire c'est que tu écrivais (enfin je crois)
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par **egan** » 12 Juil 2009, 19:51

Ah ok je comprends. Ca se démontre que l'on peut intervertir des limites ?

par **skilveg** » 13 Juil 2009, 09:07

Oui, il y a des théorèmes dans des cas précis. Là (si je ne dis pas d'âneries) on a besoin d'une convergence uniforme de la suite des dérivées au voisinage de tout point, mais je ne suis pas sûr que ça t'avance beaucoup. Le fait est qu'en gros, là où une série entière converge, on peut faire tout ce qu'on veut avec sans se poser de question.

par **Clembou** » 13 Juil 2009, 09:11

Moi, j'ai un cours qui traite de ce genre de problèmes :

http://clementboulonne.hbg.fr/cours/m204.pdf

Dérivée d'une somme infinie

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