Démontrer par récurrence

[Dodono]

bonjour voici l'énoncer d'un exercice que je n'arrive pas:

U0=5 5Un+1 = 2Un + 4
( le n+1 et en petit )
démontrer par recurrence que pour tout n € N Un >ou égale a(4/3)

voici ce que j'ai fait :

5Un+1 = 2Un + 4 -> Un+1 = (2Un + 4)/(5)

initialisation: on veut montrer que P est vraie pour n=0
(2*0+4)/(5) = 4/5 = 0.8

or sa ne peut être vraie !
expliquer/corriger moi sil vous plaies

[Goux]

bonjour voici l'énoncer d'un exercice que je n'arrive pas:

U0=5 5Un+1 = 2Un + 4
( le n+1 et en petit )
démontrer par recurrence que pour tout n € N Un >ou égale a(4/3)

voici ce que j'ai fait :

5Un+1 = 2Un + 4 -> Un+1 = (2Un + 4)/(5)

initialisation: on veut montrer que P est vraie pour n=0
(2*0+4)/(5) = 4/5 = 0.8

or sa ne peut être vraie !
expliquer/corriger moi sil vous plaies

Ton U0 ne vaut pas 0 mais 5 donc U1 = 14/5 donc bien sup a 4/3

[Dodono]

Ton U0 ne vaut pas 0 mais 5 donc U1 = 14/5 donc bien sup a 4/3

ahhh ok je comprend merci, je continue

donc je continue:
l'hérédité:

je suppose qu'il existe en entier k >ou égale 4/3 tel que la propriété P est vraie
c'est a dire: Uk= >ou égale 4/3

je veut montrer que P est vraie pour k+1
c'est a dire Uk+1 >ou égale 4/3

jusqu'a là es bon ?

ensuite pour commencer que faire ? ( merci de m'avoire repondu, pour tout a leur )

[Goux]

Attention k n a rien a voir avec 4/3 !

P : Un >= 4/3

Cela est vraie au rang 0 car U0 >=4/3

Supposons qu il existe un entier n (ou k appel le comme tu veux) pour lequel P est vraie tel que Un>=4/3

Montrons alors que cela est vraie au rang n+1 :

On veut montrer que Un+1 >= 4/3 sachant que Un >=4/3


On sait que Un+1 = (2 Un +4)/5

Un >= 4/3 par hypothese

2Un >= 8/3

2Un + 4 >= 8/3 + 4 = 20/3

(2Un + 4)/5 >= 20/(3*5) = 4/3

D ou Un+1 >= 4/3


D apres le principe de recurrence ect...

[Dodono]

Uk+1 >= 4/3

(2Un + 4)/(5) >= 4/3

aprés que faire ? :hein: sil te plait :id:

[Goux]

Si tu reprend ce que j'ai fais c'est fini...

Tu n'as plus qu'a conclure "d'après le principe de récurrence la propriété P est vraie pour tout n sup ou egal à 0 " donc tu as montré par récurrence que Un >= 4/3 pour tout n >=0

Revoit la notion de récurrence, on voulait montrer que si la propriété était vraie au rang n alors elle l'était au rang n+1 ce qu'on a fait car on a prouver que Un+1 était bien supérieur ou égal à 4/3

D'après cela on en déduit que P est vraie pour tout n >=0 entier, car cela marche de proche en proche, si ca marche a un rang ca marche au suivant et ect.

Résumé de la démonstration par récurrence :

1. tu pose ta propriété P (ici Un>=4/3)

2. Tu vérifie que P est vraie au rang n=0

3. Tu suppose que P est vraie au rang n, et tu prouve que P est vraie au rang n+1

4. C'est fini tu conclut que P est vraie pour tout n >=0