Démonstrations

par **manon_n** » 19 Juin 2010, 12:55

Bonjour, je m'intéressais un peu aux triangles et je suis tombé sur des formules que je n'ai pas réussi a démontrer.

Alors je suis désolé il y en a plein, soit R le rayon du cercle circonscrit à ABC, S l'aire de ce triangle a=BC b=AC et c=AB,

comment montrer que:

1- R=(a+b+c)/(2sinA+2sinB+2sinC)
2- S=2R²sin(A)sin(B)sin(C)
3- a=b*cos(C)+c*cos(B)
4- a(sin(B)-sin(C))+b(sin(C)-sin(A))+c(sin(A)-sin(B))=0
5- cos(A)+cos(B)+cos(C)=1+sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
6- sin(A)+sin(B)+sin(C)=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
7- tan(A)+tan(B)+tan(C)=tan(A)tan(B)tan(C)
8- tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1

Je remercie tout ceux (celles) qui m'aideront !

par **oscar** » 19 Juin 2010, 16:10

1) a / si A = b/sin B= c/ sin C = 2R
=> ( a+b+c) / ( sin A + sinB +sin C) = 2R
Il suffit de diviser les deux membres par 2
2)
S = abc/ 4R car S = 1/2 bc Sin -A et sin A = a/2R
a = 2R sin A; b = 2R sinB ; c = 2R sin C
Remplace

par **manon_n** » 19 Juin 2010, 16:18

ok merci beaucoup ,
et les autres quelqu'un à une idée ? Merci !

par **oscar** » 19 Juin 2010, 16:27

5)A+B+C =2pi
cos C =- cos (A+B)
Développer
cos A+ cos B
et -' 1 + cos(A+B) = -( 1- cos (A+B)) = - 2sin² ( A+B)/2

par **oscar** » 19 Juin 2010, 16:31

7) tg (A+B) = - tg ( pi -C)
( Tg A + tg B)/ ( 1 - tg A tg B) = - tg C

A suivre

par **oscar** » 19 Juin 2010, 17:00

pour le 3 appliquer AL- Kashi

cos B = ( a² + c² - b²) /2 ac

cos C = ( a² + b² -c²) / 2 ab

Alors a = b *........+ c * ....
Remplace puis simplifie

par **Olympus** » 19 Juin 2010, 17:09

Rajoute ces deux identités

par **benekire2** » 19 Juin 2010, 18:37

salut olympus ' juste une curiosité , tu les a trouvé où ces égalités ?

Merci (encore :we: )

par **Olympus** » 19 Juin 2010, 18:55

Dans ce superbe .pdf autour des substitutions trigonométriques pour prouver des inégalités : http://reflections.awesomemath.org/2007_6/trig_substitution.pdf .

Bonne lecture !

par **benekire2** » 19 Juin 2010, 19:15

Thank you :id:

par **busard_des_roseaux** » 19 Juin 2010, 20:12

Bonsoir,

d'après ce qui précède, il y a une erreur formule 5 (il manque un facteur 4)

cordialement,

par **Olympus** » 19 Juin 2010, 20:21

busard_des_roseaux a écrit:Bonsoir,

d'après ce qui précède, il y a une erreur formule 5 (il manque un facteur 4)

cordialement,

Effectivement . Dans le .pdf que j'ai donné, les identités sont bonnes par contre :we:

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