Démonstration racine double polynôme degré 3

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
Avatar de l’utilisateur
zouzou8
Membre Naturel
Messages: 35
Enregistré le: 26 Aoû 2018, 10:00

Démonstration racine double polynôme degré 3

par zouzou8 » 26 Aoû 2018, 10:50

Bonjour à tous,

Je me permets ce post car je bloque sur la démonstration du théorème suivant :

Soient . On considère le polynôme et le réel définis par :
et
Pour que admette une racine au moins double, il faut et il suffit que

La démonstration sur laquelle je bloque est issue du livre de Jean-Louis Frot : "Un cours de haut niveau pour ceux qui envisagent une prépa". Voici un scan de la démonstration :
https://drive.google.com/open?id=1-I9imY3xN_KXgR-OtKHnW9UhxkyJQL2j

Je ne comprends pas la réciproque, lorsque l'on suppose pour arriver à démontrer que, sous cette hypothèse, admet une racine double et donc une écriture . Deux points, mis en évidence en rouge dans le scan, me posent problème (dans le sens où je ne les pige pas, pas dans le sens où la démonstration est fausse bien sûr ^^) :

- les formules (1) ont été établies lors de la démonstration de la première implication, justement parce que l'hypothèse était que le polynôme admettait une racine double et donc une écriture . Pourquoi a-t-on le droit de réutiliser ces résultats dans la démonstration de la réciproque alors qu'ils sont issus du développement d'une expression dont la forme est justement celle que l'on cherche à trouver ?

- de même, l'encadré rouge propose le développement d'un polynôme de degré 3 qui admet une racine double (premier facteur au carré). En quoi est-il correct de travailler sur une telle expression, sachant que c'est ce vers quoi cette partie de la démonstration doit tendre, sous l'hypothèse initiale que ?

Voilà, j'espère que mon propos est suffisamment clair à lire, car ce n'est pas très clair dans ma tête ...

Merci pour vos retours !

Zouzou8
... Work in progress ...



aviateur
Habitué(e)
Messages: 3853
Enregistré le: 19 Fév 2017, 11:59

Re: Démonstration racine double polynôme degré 3

par aviateur » 26 Aoû 2018, 11:28

Bonjour
Pour la réciproque, l'auteur remarque que d'après la démonstration directe
s'il y a une racine double elle ne peut valoir que C'est tout.

Ensuite il ne fait que démontrer que pour cette valeur
que en utilisant uniquement l'hypothèse

Remarque tu peux aussi faire autrement en divisant f(x) par f'(x):

On a alors

remarque étudier p=0 à part.

Donc f admet une racine double x ssi f ssi
ssi ssi
Modifié en dernier par aviateur le 26 Aoû 2018, 11:31, modifié 2 fois.

hdci
Membre Rationnel
Messages: 787
Enregistré le: 23 Juin 2018, 18:13

Re: Démonstration racine double polynôme degré 3

par hdci » 26 Aoû 2018, 11:30

Bonjour,

L'objectif est de démontrer une équivalence : il y a une racine double ssi

L'implication directe est basée sur le fait que si et sont les deux racines, avec racine double, alors le polynôme s'écrit forcément et en développant, on trouve aisément les valeurs de et de en fonction de et de ; et avec ces valeurs on voit immédiatement que : cela donne l'implication (une racine double donc )

Pour la réciproque, on suppose que et on recherche les racines. Or dans le cas de l'implication, on avait trouvé en (1) trois égalités : , et

Donc notamment, on voit que, sous réserve que , on a

D'où :
  • on évacue le cas (racine triple nulle)
  • et si , on regarde ce qui se passe avec les deux nombres et

On ne sait évidemment "pas encore" que ce sont les deux racines, mais rien n'interdit de faire les calculs.
On voit ainsi que

Alors or donc on a , ce qui donne

On fait la même chose avec pour trouver que cela vaut .

On obtient ainsi ce qui montre que le polynôme admet bien comme racine double.

Pour répondre à cette question
zouzou8 a écrit:Pourquoi a-t-on le droit de réutiliser ces résultats dans la démonstration de la réciproque alors qu'ils sont issus du développement d'une expression dont la forme est justement celle que l'on cherche à trouver ?


On n'utilise pas le résultat de l'implication : l'implication "donne l'idée de regarder ce qui se passe" avec deux nombres en particulier, en espérant que ce sont les deux racines que l'on cherche.

zouzou8 a écrit: de même, l'encadré rouge [...] En quoi est-il correct de travailler sur une telle expression, sachant que c'est ce vers quoi cette partie de la démonstration doit tendre, sous l'hypothèse initiale que ?


L'encadré rouge n'est rien d'autre que le développement d'un polynôme admettant et comme racine respectivement double et simple. On montre alors que ce polynôme est égal au polynôme initial en utilisant l'hypothèse

J'espère que j'ai été assez clair...
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

Avatar de l’utilisateur
zouzou8
Membre Naturel
Messages: 35
Enregistré le: 26 Aoû 2018, 10:00

Re: Démonstration racine double polynôme degré 3

par zouzou8 » 26 Aoû 2018, 12:35

Merci beaucoup pour vos deux réponses ! C'est plus clair mais il reste un passage de la démonstration de la réciproque qui me bloque dans le cas où ... je trouve le raisonnement cyclique. Je repars d'un morceau de la réponse de hdci :-)

hdci a écrit:Dans le cas de l'implication, on avait trouvé en (1) trois égalités : , et

Si , on regarde ce qui se passe avec les deux nombres et

On ne sait évidemment "pas encore" que ce sont les deux racines, mais rien n'interdit de faire les calculs.
On voit ainsi que

Alors or donc on a , ce qui donne


Je comprends bien qu'il suffit, à ce stade, de montrer que et que pour que le tour soit joué.

Avec l'hypothèse , aucun souci pour arriver à . Cela permet, une fois qu'il est établi que , de conclure que . (puis pareil pour )

En revanche, je coince sur la manière d'établir :

De ce que je comprends, on utilise la relation pour avoir

Or, la relation est justement établie avec les formules (1) qui contiennent ce que l'on cherche à montrer, à savoir . C'est en ça que le raisonnement me paraît cyclique dans le sens où il utilise pour démontrer que .

Merci (à nouveau !) pour vos retours :-)
... Work in progress ...

aviateur
Habitué(e)
Messages: 3853
Enregistré le: 19 Fév 2017, 11:59

Re: Démonstration racine double polynôme degré 3

par aviateur » 26 Aoû 2018, 12:45

Il n'y a rien de cyclique. Il te reste à montrer que .
Tu remplaces par son expression en fct de p,q et tu calcules . C'est là que tu utilises pour éliminer p et en simplifiant tu retrouves q.

Avatar de l’utilisateur
zouzou8
Membre Naturel
Messages: 35
Enregistré le: 26 Aoû 2018, 10:00

Re: Démonstration racine double polynôme degré 3

par zouzou8 » 26 Aoû 2018, 13:35

Aviateur, désolé mais je bloque ... Es-tu d'accord avec les deux points suivants :

1. pour démontrer la réciproque, il faut montrer que , et que .

2. l'expression de en fonction de (à savoir ) utilisée pour démontrer la réciproque est obtenue en utilisant les relations et .
... Work in progress ...

hdci
Membre Rationnel
Messages: 787
Enregistré le: 23 Juin 2018, 18:13

Re: Démonstration racine double polynôme degré 3

par hdci » 26 Aoû 2018, 15:08

Le fait que implique évidemment que . Il n'y a rien de cyclique là-dedans.

On n'utilise pas les formules du (1), on ne fait que s'en inspirer : le but du rédacteur étant d'epliquer "pourquoi il a eu l'idée de poser .

Si vous préférer, ré-écriver toute la démonstration de la réciproque sans utiliser la mention à (1). Cela donne ceci.

Par hypothèse
Posons .

Calculons

  • On trouve alors que
  • Or par définition, on a
  • Avec l'hypothèse cela donne
  • De même,
  • Or par hypothèse cela fait donc
  • Il en résulte que

Bref, on vient de montrer que

Et sans avoir mentionné la relation (1).

La relation (1) n'est pas utilisée comme "hypothèse" mais uniquement comme "source d'inspiration" et ça on a tout à fait le droit...
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

hdci
Membre Rationnel
Messages: 787
Enregistré le: 23 Juin 2018, 18:13

Re: Démonstration racine double polynôme degré 3

par hdci » 26 Aoû 2018, 15:10

Oups, désolé je ne sais pas pourquoi on ne peut pas modifier certains de ses messages.
hdci a écrit:[*]Or par hypothèse cela fait donc


Il faut lire ici bien évidemment
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

Avatar de l’utilisateur
zouzou8
Membre Naturel
Messages: 35
Enregistré le: 26 Aoû 2018, 10:00

Re: Démonstration racine double polynôme degré 3

par zouzou8 » 26 Aoû 2018, 15:21

Merci beaucoup hdci ! C'est tout clair maintenant :-)

La réciproque ne se prouve que si on a l'idée de poser . Ce n'est pas spontané (enfin j'imagine depuis mon niveau en maths) de poser cela, mais on peut avoir l'inspiration en utilisant les formules (1). Cela dit, au final, on n'a nullement besoin des formules (1) pour prouver la réciproque.
(C'est totalement de la paraphrase de vos messages, mais ça me met les idées au clair !)

Encore merci pour votre patience
... Work in progress ...

Avatar de l’utilisateur
zouzou8
Membre Naturel
Messages: 35
Enregistré le: 26 Aoû 2018, 10:00

Re: Démonstration racine double polynôme degré 3

par zouzou8 » 26 Aoû 2018, 15:23

Et merci aussi à Aviateur !
... Work in progress ...

 

Retourner vers ✎✎ Lycée

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : lyceen95 et 103 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite