Bonjour à tous,
Je me permets ce post car je bloque sur la démonstration du théorème suivant :
Soient . On considère le polynôme et le réel définis par :
et
Pour que admette une racine au moins double, il faut et il suffit que
La démonstration sur laquelle je bloque est issue du livre de Jean-Louis Frot : "Un cours de haut niveau pour ceux qui envisagent une prépa". Voici un scan de la démonstration :
https://drive.google.com/open?id=1-I9imY3xN_KXgR-OtKHnW9UhxkyJQL2j
Je ne comprends pas la réciproque, lorsque l'on suppose pour arriver à démontrer que, sous cette hypothèse, admet une racine double et donc une écriture . Deux points, mis en évidence en rouge dans le scan, me posent problème (dans le sens où je ne les pige pas, pas dans le sens où la démonstration est fausse bien sûr ^^) :
- les formules (1) ont été établies lors de la démonstration de la première implication, justement parce que l'hypothèse était que le polynôme admettait une racine double et donc une écriture . Pourquoi a-t-on le droit de réutiliser ces résultats dans la démonstration de la réciproque alors qu'ils sont issus du développement d'une expression dont la forme est justement celle que l'on cherche à trouver ?
- de même, l'encadré rouge propose le développement d'un polynôme de degré 3 qui admet une racine double (premier facteur au carré). En quoi est-il correct de travailler sur une telle expression, sachant que c'est ce vers quoi cette partie de la démonstration doit tendre, sous l'hypothèse initiale que ?
Voilà, j'espère que mon propos est suffisamment clair à lire, car ce n'est pas très clair dans ma tête ...
Merci pour vos retours !
Zouzou8