Racine polynôme degré 3

[Jack2006]

Bonjour, j'ai une fonction constitué d'un polynôme de degré 3 et j'aimerais trouver les racines, mais je bloque un peu.
Voici la fonction :
f(x)=(x^3/2)+x^2-(3x/2)+1

Merci d'avance pour votre aide

[mathafou]

Bonjour,

ça dépend ce que tu cherches ...

si tu cherches les racines et basta tu dois utiliser un logiciel de calcul
soit pour obtenir une valeur numérique approchée, soit une "valeur exacte" bourrée de racines cubiques etc. et donc hors de portée du niveau Lycée !!

dans le genre (bof ...)

mais peut être que l'exo ne demande pas du tout ça mais par exemple,

prouver qu'il y a une seule racine réelle
ou donner une valeur approchée à 0.1 près de cette racine
ou etc ...

[Jack2006]

En fait je cherche à déterminer le ou les points d'intersection de la cubique avec l'axe des x.

[mathafou]

En fait je cherche à déterminer le ou les points d'intersection de la cubique avec l'axe des x.

oui, c'est exactement pareil
"intersection avec l'axe des x" totalement équivalent à "résoudre f(x) = 0"

la question est pourquoi, comment dans quel but....
(edit : quel est l'énoncé du problème, si ça se trouve même, cette équation n'a rien à voir avec le problème tel qu'il est posé, tu l'as obtenue en faisant des erreurs dans les questions d'avant)

et pour une fonction du 3ème degré il n'y a que les méthodes suivantes

soit il y a des racines "évidentes" genre 1, -1, 2, -2 etc
et on peut factoriser et reste une équation du second degré
ici pas de telles racines, donc inapplicable

soit on résout exactement par les formules horribles citées (méthode de Cardan) qui n'est pas du tout du niveau lycée.
on trouve ça parfois sous forme d'exercice guidé pas à pas, de toute façon cela fait obligatoirement intervenir des nombres complexes dans le raisonnement
je t'ai donné la solution, obtenue par un logiciel de calcul formel
pour des détails sur le pourquoi du comment chercher "formules de Cardan"

soit on cherche des valeurs approchée par des méthodes d'approximations successives
(tableaux de valeurs, dichotomie, méthode de Newton ...)

enfin on a parfaitement le droit de répondre :
prouver qu'il y a une et une seule racine dans un certain intervalle [a; b] par l'étude des variations de la fonction et le TVI (théorème des valeurs intermédiaires)
et on appelle la valeur de cette racine et c'est fini.
en mathématique les valeurs numériques c'est "out", on raisonne et on calcule entièrement en symbolique de toute façon.

finalement si le problème est un problème d'application pratique, l'usage d'un logiciel quelconque pour résoudre ça et obtenir une valeur approchée est le plus efficace et c'est fini.
Même certaines calculettes suffisent, sinon Geogebra, Xcas, Wolfram Alpha, etc ... même Google (taper directement l'équation f(x)= dans la barre de recherche : Google possède un calculateur intégré qui se déclenche tout seul quand on lui tape une formule de maths, il trace la courbe et on "lit" dessus)

[Jack2006]

Les questions sont :
a) tracer le graphique de la fonction;
b) déterminer son domaine et son image;
c) déterminer approximativement la position du ou de ses maximum et (ou) minimum (s’il y en a);
d) déterminer approximativement la ou les positions de sa ou ses intersections avec les axes.

[mathafou]

Les questions sont :
a) tracer le graphique de la fonction;
b) déterminer son domaine et son image;
c) déterminer approximativement la position du ou de ses maximum et (ou) minimum (s’il y en a);
d) déterminer approximativement la ou les positions de sa ou ses intersections avec les axes.

tout est donc dans le mot "approximativement" c'est à dire ici par lecture graphique, vu qu'on t'a demandé juste avant de tracer la courbe !!
au mieux par une table de valeurs au "voisinage" de la / des racine(s) observée(s) pour pouvoir affirmer précisément que la racine concernée est comprise entre a et b avec |a-b| aussi petit que tu le souhaites
je pense qu'une précision meilleure que 0.01 est ici totalement inutile.
même à 0.1 près suffirait à mon avis.
tout se fait à la calculette (lecture graphique et table de valeurs)

[zygomatique]

salut

intersection avec l'axe des ordonnées :: il suffit de calculer f(0) !!!!

intersection avec l'axe des abscisses ::: pas/plus besoin de table car les calculatrices ont des solveurs ....

[Jack2006]

Ok donc il faut que j’utilise la calculatrice pour avoir les racines, juste pour avoir une petite idée vous allez dans quoi pour les calculer?

[zygomatique]

pour apprendre à utiliser une machine on lit son mode d'emploi ...

[Jack2006]

Le problème c'est que je n'ai plus la notice, oui je sais j'aurais du y faire plus attention. :wrong:

[Jack2006]

Finalement j'ai trouvé le menu équation, par contre je ne sais pas trop comment l'écrire puisque la calculatrice me demande a b c d et que j'ai sous la forme fractionnaire certains éléments. Par exemple j'ai l'emplacement de a dans un tableau sur la calculatrice et dans la fonction j'ai comme premier terme x^3/2, comment l'écrire?

[chombier]

Le problème c'est que je n'ai plus la notice, oui je sais j'aurais du y faire plus attention. :wrong:

Finalement j'ai trouvé le menu équation, par contre je ne sais pas trop comment l'écrire puisque la calculatrice me demande a b c d et que j'ai sous la forme fractionnaire certains éléments. Par exemple j'ai l'emplacement de a dans un tableau sur la calculatrice et dans la fonction j'ai comme premier terme x^3/2, comment l'écrire?

Toutes les notices se trouvent sur internet au format pdf. C'est typiquement le genre de choses que tu dois chercher par toi même, sinon tu ne retiendrais jamais la manip.

Si vraiment tu n'y arrives pas, on peut essayer de t'aider, mais c'est un forum de maths ici, pas un forum de calculatrice, et si on n'a pas le même modèle entre les mains, ce qui est plus que probable, voila la galère pour t'aider !

[Jack2006]

ok merci, je vais essayer de me débrouiller

[Jack2006]

une dernière question, quel serait le domaine de définition et l'image de cette fonction?

[mathafou]

une dernière question, quel serait le domaine de définition et l'image de cette fonction?

il faut surtout comprendre ce que veulent dire ces mots
domaine de définition : peut on calculer la fonction pour toutes les valeurs de x ? seulement pour certaines d'entre elles (y a-t-il des valeurs de x pour lesquelles on ne peut pas calculer la valeur de f(x))
par exemple, la fonction f(x) = 1/(x-1) ne peut pas être calculée pour x = 1, le domaine de définition est R sauf le nombre 1

image de cette fonction : y a-t-il des valeurs de f(x) qui ne correspondent à aucune valeur de x ?
par exemple la fonction f(x) = x² ne peut pas prendre de valeurs négatives : il n'existe aucune valeur (réelle) de x pour laquelle x² serait négatif
l'image est ici [0; +oo[
(et le domaine de définition est R tout entier : quel que soit x on peut toujours calculer son carré)

au niveau de cet exercice encore une fois tout se fait par lecture graphique, pas en demandant à la calculette de résoudre automatiquement une équation (ce que ne savent pas forcément faire toutes les calculettes) surtout si en plus il faut se reporter à la notice pour savoir comment on fait ça, alors que le simple affichage graphique d'une fonction doit être un usage connu par coeur de la calculette.

pour le domaine image, c'est pareil : on observe la courbe obtenue (ne pas se gourer sur les réglages de la fenêtre pour pouvoir avoir une vue "globale" de l'allure de la courbe et pas juste un tout petit bout, pire un petit bout qu'on ne verrait même pas car en dehors de l'écran)
cela doit "donner des idées" (permettre d'énoncer une conjecture : "il semble que ...")
ensuite pour prouver cette conjecture il faudrait étudier sérieusement la fonction, en particulier ses variations :
si la fonction possède un intervalle dans lequel la fonction croit de A jusqu'à l'infini, toutes les valeurs de f(x) supérieure à A seront "atteignable" par exemple, et donc l'ensemble [A; +oo[ fera partie de l'image.

[Jack2006]

D'accord et merci, alors selon ce que me trace la calculatrice, il y a une seule intersection de la courbe avec l'axe des x qui serait environ -3.146

[Jack2006]

Merci, grâce à vous j'ai réussis à finir l’exercice. j'aurais par contre une autre petite question, j'ai vu dans un autre exercice une fonction f(x)=racine(1-4x-x^2) .
Comment faire avec une racine?

[mathafou]

Merci, grâce à vous j'ai réussis à finir l’exercice. j'aurais par contre une autre petite question, j'ai vu dans un autre exercice une fonction f(x)=racine(1-4x-x^2) .
Comment faire avec une racine?

pour l'afficher sur la calculette je suppose que tu n'as aucun problème pour y trouver la touche racine carrée et les parenthèses :lol3:

pour l'étude du domaine de définition : se souvenir qu'on ne peut calculer la racine carrée d'un nombre que si ce nombre est positif ou nul

[zygomatique]

se souvenir qu'on ne peut calculer la racine carrée d'un nombre que si ce nombre est positif ou nul

tout nombre nul est positif ....


(de même que tout nombre nul est négatif) ...

((c'est d'ailleurs pourquoi il est nul)) ...

:lol3:

[mathafou]

tout nombre nul est positif ....
(de même que tout nombre nul est négatif) ...

on ne va pas relancer le débat éternel sur l'ambigüité du mot "positif" qui change de signification selon les pays et les époques.
d'où ma distinction systématique de "strictement positif" et de "positif ou nul" pour éviter définitivement toute ambigüité sur le mot, lorsque cela à une importance (bornes de l'intervalle de définition comprises ou pas par exemple)