Demonstration par recurrence

[youkef-sne]

Bonjour, je dois demontrer par recurrence que pour tout n>=3, on a : 2^n>2n . Voila ce que j'ai fait poir l'instant:
Initialisation: pour n=3, on a : 2^3>2*3 donc 8>6 la propriétté est donc initialisée.
Heredité: Supposons que la propriété soit vrai pour un certain rang p, on a alors: 2^p>2p.
Demontrons que cette propriété est vrai au rang p+1 et donc qu'elle est hereditaire :

Et la je ne sais pas comment faire, je compte sur votre aide pour reussir cette exercice et merci d'avance :-)

[capitaine nuggets]

Salut !

Rappelle toi que

[Robic]

Bonjour ! Commence par écrire l'égalité qu'il faut démontrer. Ici, il faut donc démontrer que, pour ce p, on a :
.
Pour ce faire, on peut partir de .
Or on sait (hypothèse de récurrence) que
Il faut donc faire apparaître un dans l'expression de gauche (c'est une méthode générale dans les récurrence : il faut utiliser l'hypothèse de récurrence, donc on essaie de la replacer dans l'expression de départ). Et pour ça, on utilise le rappel de Capitaine Nuggets.

[youkef-sne]

Bonjour ! Commence par écrire l'égalité qu'il faut démontrer. Ici, il faut donc démontrer que, pour ce p, on a :
.
Pour ce faire, on peut partir de .
Or on sait (hypothèse de récurrence) que
Il faut donc faire apparaître un dans l'expression de gauche (c'est une méthode générale dans les récurrence : il faut utiliser l'hypothèse de récurrence, donc on essaie de la replacer dans l'expression de départ). Et pour ça, on utilise le rappel de Capitaine Nuggets.

Oui mai a gauche on a une puissance et a droite on a un produit.
Mais si j'essaye ca fait: 2*(2^p)>2*2p 2^(p+1) > 4p
et la c'est pas juste ce que j'ai fait !

[Robic]

Donc tu as avancé !

1) Tu viens de démontrer que .
2) Tu veux démontrer que (c'est important de l'avoir écrit dans un coin, puisque ça nous guide pour les calculs).

Il suffit donc à présent de démontrer que .

Une remarque : tu n'es pas en train de résoudre une équation mais de faire un calcul. Donc il faut écrire et non « 2*(2^p)>2*2p 2^(p+1) > 4p ».

[paquito]

, or si tu as par hypothèse de récurrence , tu auras , car , car la fonction est croissante pour et vaut 0 pour x=1; donc, en résumé, entraîne entraîne , et c'est gagné! :ptdr:

[Robic]

Je préfère que youkef-sne poursuive ce qu'il a fait, car il lui reste juste à démontrer que 4p>2(p+1), ce qui est quand même plus simple (pas besoin d'étudier une fonction ou je ne sais quoi).

De plus, comme je suis dans mon jour de chipotage (oui, ça m'arrive des fois), je signale qu'on n'écrit pas mais est équivalent à .

[paquito]

Cette démonstration par récurrence nécessite une relation évidente, mais qu'il est difficile de prouver. Je propose une solution; si ça ne plait pas, tant pis! Quant à ta remarque, c'est une lapalissade! Tu écris exactement la même chose que moi! :we:

[Robic]

Oui mais youkef-sne avait déjà avancé et était tout près de la fin, donc autant rebondir sur ce qu'il a déjà fait.

[paquito]

Oui mais youkef-sne avait déjà avancé et était tout près de la fin, donc autant rebondir sur ce qu'il a déjà fait.

Tu as raison! On lui a déjà maché le travail.

[youkef-sne]

On a : 4p > 2(p+1) <=> 2p > p+1 et c'est bon, non ?

[paquito]

On a : 4p > 2(p+1) 2p > p+1 et c'est bon, non ?

Oui, c'est valable pour tout p>1, donc ça marche!

[youkef-sne]

Oui, c'est valable pour tout p>1, donc ça marche!

Et on a fini la demonstration par recurrence la ? Je comprends pas !

[paquito]

Et on a fini la demonstration par recurrence la ? Je comprends pas !

Il n'y avait que ce résultat qui nous manquait.

[Robic]

youkef-sne : souviens-toi où on en était ! Relis tout ! Il reste à recoller les morceaux.

Tu avais démontré que et là tu viens de démontrer que 4p > 2(p+1). Par conséquent : (évident, non ?). Maintenant, si tu te souviens (tu dois te souvenir !) il fallait démontrer que... que... voir mon message d'hier à 16h54 (au début). Et donc tu as démontré l'hérédité de la propriété. Reste à rédiger la conclusion (la propriété est hériditaire, or elle est vraie pour... donc elle est vrai pour tout...)