Démonstration par récurrence

[theluckyluke]

Salut tout le monde,

je post un peu tard, mais deux problèmes me posent pas mal de difficultés et j'aimerai bien comprendre...
(je suis en 1ère et j'ai aujourd'hui attaqué la démonstration par récurrence pour m'avancer un peu... avec les exos types du style à démontrer par récurrence, ça ne me pose pas de problème, mais les suivants je ne vois pas vraiment...)




Démontrer que : pour tout n de , est un multiple de 3. J'ai essayé de me dire que cela pouvait se traduire par mais ce n'est pas cela...


Le second problème est :
Démontrer que pour tout n de et tout a de *, .


Je suppose qu'il faut utiliser la démonstration par récurrence, si ce n'est pas le cas, vous pouvez me dire ce que je dois utiliser?


En fait, dans les deux, ce sont les puissances qui me gênent et comme la démonstration par récurrence est quand même une notion nouvelle pour moi, je coince sur ce que vous trouverez sûrement facile, mais bon...

Voilà, j'espère que vous pourrez m'expliquer et merci d'avance pour vos réponses.
+

[Chimomo]

pour la premiere, 4^(n+1) + 5 = 4(4^n +5) -15.

Si par hypothèse de récurrence 4^n +5 est multiple de 3, la propriété se transmet. Je te alisse vérifiée qu'elle est vraie pour n=1.

Pour la deuxième, essaye de faire pareil, écris (1+a)^(n+1) en fonction de (1+a)^n et applique l'hypothèse de récurrence.

[Hilbert67]

Démontrer que : pour tout n de , est un multiple de 3. J'ai essayé de me dire que cela pouvait se traduire par mais ce n'est pas cela...

Tu vas trop vite.

est un multiple de 3 si il existe tel que .

Traduis bien l'hypothèse de récurrence, et essaie de montrer qu'elle est encore vraie au rang suivant !

Bon courage

[Sdec25]

Salut
pour le second :
Soit la propriété

donc est vraie

, on multiplie de chaque côté par 1+a :

donc est vraie

[nekros]

Pour la seconde, c'est l'inégalité de Bernoulli il me semble, non ?

Si tu n'arrives pas à faire une démonstration par récurrence, tu peux toujours utiliser la méthode bourine :

Soit la fonction définie par

On a

Pour , il est clair que pour

On en déduit donc que est croissante sur et décroissante sur .

Or, et et car

Conclusion : c'est-à-dire que

Donc pour ,

Thomas G :zen:

[Hilbert67]

Pour la seconde, c'est l'inégalité de Bernoulli il me semble, non ?

Si tu n'arrives pas à faire une démonstration par récurrence, tu peux toujours utiliser la méthode bourine :

Je pense que l'idée était de s'entraîner sur les récurrences...

D'ailleurs, peut-être que vous avez des idées de beaux exos utilisant la récurrence ?
(par "beaux", j'entends : où l'idée de la récurrence permet une démonstration concise et parlante, ou bien qui fait allusion à d'autres domaines que les maths pour la présentation du problème)

[said_271]

4expn +5= (3+1)expn +5
=1+ n*3p2 + +n!/k!(n-k)! *3expk+ +3 expn +5
=1+5+3(n+ +n!/k!(n-k)! *3exp(k-1)+ +3exp(n-1)
=3*t avec t= 2+ n+ +n!/k!(n-k)! *3exp(k-1)+ +3exp(n-1) avec t entier

[nekros]

Salut Hilbert,

Deux raisons pour ma démo :

1) je me sentais seul
2) comme je l'ai dis, c'est une méthode "sainte rita", moche certes, mais qui marche :id:

En outre, il est clair que l'objet du message initial était de faire une preuve par récurrence. :++:

Thomas G :zen:

[BancH]

Pour divisible par 3, je propose :

Pour n=1 on a : Le reste de la division de par a pour reste



Pour n=2 :
A chaque fois que tu multiplies par 4, tu multiplies par 4 le reste , le reste est constant.

Quelque soit , a pour reste 1.

On a donc :

[aviateurpilot]

donc est un multiple de 3

il existe k tel que a=b+kc

[BancH]

Ce que j'ai fait est bon ?

[aviateurpilot]

oui c'est bien

[theluckyluke]

donc est vraie

il passe où le , c'est là où je bloque

[theluckyluke]

merci beaucoup tout le monde pour vos réponses, c'est déjà plus clair...

Sincèrement, si vous en avez envie, vous pouvez lâcher quelques exos où on utilise la démonstration par récurrence.

[mathador]

chalut !

http://www.mathsland.com/index.php?p=terminale&q=RECU&s=EXO

avec cet acharnement à faire des exercices, tu vas arriver en TS en étant theluckyluke, l'homme qui fait les récurrences plus vite que son ombre !

Puisque tu as l'air de t'investir dans les maths (et de t'avancer), recherche donc des cours donnant les bases des nombres complexes : c'est un sujet très intéressant, qui est au coeur du programme d'analyse en TS.

Amicalement

[theluckyluke]

chalut !

http://www.mathsland.com/index.php?p=terminale&q=RECU&s=EXO

avec cet acharnement à faire des exercices, tu vas arriver en TS en étant theluckyluke, l'homme qui fait les récurrences plus vite que son ombre !

Puisque tu as l'air de t'investir dans les maths (et de t'avancer), recherche donc des cours donnant les bases des nombres complexes : c'est un sujet très intéressant, qui est au coeur du programme d'analyse en TS.

Amicalement

lol

merci beaucoup, je m'avance comme j'aurais probablement dans les 43heures de cours, donc si ça me permet de travailler parfois un peu moins, pourquoi pas hein?

merci, je vais m'y coller

[mathador]

Où habites-tu ? Si par miracle c'est à Reimsou aux environs, je pourrais volontiers de donner des cours :we: et si c'est ailleurs, une petite recherche dans la section "petites annonces" du forum serait judicieuse !

Amicalement

[theluckyluke]

Où habites-tu ? Si par miracle c'est à Reimsou aux environs, je pourrais volontiers de donner des cours :we: et si c'est ailleurs, une petite recherche dans la section "petites annonces" du forum serait judicieuse !

Amicalement

ouais, je vois pas trop où c'est reimsou moi je suis en alsace

edit : ahhhh reims!!! lol

[theluckyluke]

recherche donc des cours donnant les bases des nombres complexes

j'ai un livre de Term S

[Hilbert67]

ouais, je vois pas trop où c'est reimsou moi je suis en alsace

edit : ahhhh reims!!! lol

TheLuckyluke : le gars qui es parfois à l'Ouest