Démonstration par réccurence

[Feanor]

Bonjour,
alors voila j'ai un petit exercice de math sur les suites pour lequel j'aurais besoin d'un coup de main :

Soit la suite Vn géométrique de premier terme V0 = 5 et de raison q= 5/6 ( en vérité c'était à moi de le démontrer avec une série de question )
Soit Un une suite de premier terme U 0 = 1 et pour tout " n " dans N : Un+1 = racine de (5Un+6)
Question 1 :

Démontrez par récurrence que 1<= Un <= 6 ( le signe <= c'est supérieur ou égal )
par récurrence j'ai démontré que 1<= U0 <= 6
Puis : 1 <= Un <= 6
donc 11<= 5Un +6 <= 36
Racine de 11 <= Un+1 <= 6 ( racine de 36 )
et puisque : 1 < racine de 11
Alors 1 <= Un 1+ <= 6
Alors ma question là c'est : a-t-on le droit de mettre 1 < =Un+1 ou seulement 1 < Un+1 ( supérieur ou égal ou strictement supérieur ?? )


Question 2 :

Démontrez que pour tout n , 6-Un+1 <= [5/6]*(6- Un)
C'est là que je bloque ... coup de main svp ?

et enfin
question 3 :

Démontrez que pour tout n , 0 <= 6- Un <= Vn et déduire la limite de Un .
Idem , aucune idée comment la résoudre sauf pour la limite.


Voila , et j'en profite pour vous demander : si vous connaissiez des astuces , des conseils pour savoir appliquer la démonstration par récurrence , s'il y avait une " certaine méthode " à suivre quoi , c'est ma bête noir ça ...

Merci d'avance.

[capitaine nuggets]

Salut !

Bonjour,
alors voila j'ai un petit exercice de math sur les suites pour lequel j'aurais besoin d'un coup de main :

Soit la suite Vn géométrique de premier terme V0 = 5 et de raison q= 5/6 ( en vérité c'était à moi de le démontrer avec une série de question )
Soit Un une suite de premier terme U 0 = 1 et pour tout " n " dans N : Un+1 = racine de (5Un+6)
Question 1 :

Démontrez par récurrence que 1<= Un <= 6 ( le signe <= c'est supérieur ou égal )
par récurrence j'ai démontré que 1<= U0 <= 6
Puis : 1 <= Un <= 6
donc 11<= 5Un +6 <= 36
Racine de 11 <= Un+1 <= 6 ( racine de 36 )
et puisque : 1 < racine de 11
Alors 1 <= Un 1+ <= 6
Alors ma question là c'est : a-t-on le droit de mettre 1 < =Un+1 ou seulement 1 < Un+1 ( supérieur ou égal ou strictement supérieur ?? )


Question 2 :

Démontrez que pour tout n , 6-Un+1 <= [5/6]*(6- Un)
C'est là que je bloque ... coup de main svp ?

et enfin
question 3 :

Démontrez que pour tout n , 0 <= 6- Un <= Vn et déduire la limite de Un .
Idem , aucune idée comment la résoudre sauf pour la limite.


Voila , et j'en profite pour vous demander : si vous connaissiez des astuces , des conseils pour savoir appliquer la démonstration par récurrence , s'il y avait une " certaine méthode " à suivre quoi , c'est ma bête noir ça ...

Merci d'avance.

1°) Pour et réels, équivaut à ou (exclusif) , c'est-à-dire que l'on a soit , soit , mais jamais les deux conditions simultanément (même raisonnement pour ).
Ainsi, si alors .

[capitaine nuggets]

Question 2 :

Démontrez que pour tout n , 6-Un+1 <= [5/6]*(6- Un)
C'est là que je bloque ... coup de main svp ?

Pour tout , . En voyant ce réel comme un quotient : , il va falloir multiplier au numérateur et au dénominateur par la quantité conjuguée de afin de faire apparaître des termes en au numérateur.
Ensuite, il faudra majorer ce quotient à l'aide de l'inégalité établie en 1°) : Quel que soit .

:+++:

[Ben314]

Autre solution (pas franchement plus simple, mais évitant les quantités conjugués...)
Comme est la racine carrée d'un truc, il peut venir à l'esprit d'essayer de l'élever au carré :

Or, montrer que
équivaut à montrer que ce qui, vu que les deux termes sont positifs (donc dans le même ordre que leurs carrés) équivaut à montrer que ,
c'est à dire que
soit encore que .

Tu cherche les racines du polynôme et tu conclue.

[Feanor]

Voila ce que j'ai fait :

Un+1 > 1
-Un+1 < -1
6- Un+1 < 5
1/(6-Un+1) > 1/5

sachant que 1/(6-Un+1) = [6+ racine de (5Un +6) / 30-5Un] ( multiplier au numérateur et au dénominateur par la quantité conjuguée )
on a donc [6+ racine de (5Un +6) / 30- 5Un ] > 1/ 5

D'où 6+ racine de (5Un +6) > 30- 5Un / 5
puis 6 + Un+1 > 6 - Un :hum:

Je bloque :mur: :mur: je n'ai pas compris ce que je devais faire , désolé si cela semble évident pour vous , je galère ,vraiment, j'ai tout essayé .
Quant à la méthode de Ben314 ; je ne l'ai pas plus comprise , je trouve les racines , et après x) ?

[Ben314]

Bon, pour commencer, là, méfie toi :

6- Un+1 1/5

fondamentalement (i.e. sans rajouter de conditions) c'est faux.
Pour être sûr que x<a implique 1/a<1/x, il faut que x (et donc a) soit positifs vu que pour passer de l'un à l'autre, on divise par x et par a.

Après, la méthode de capitaine nuggets consiste à écrire que :

Puis à simplifier le numérateur (de la forme (A+B)(A-B)), et à minorer le dénominateur.

Ma méthode :
On a vu qu'il fallait montrer que .
C'est un trinôme du second degrés (en ) et tu as du voir dans quel cas un tel trinôme est négatif (si x est entre les racines alors blablabla...) ce qui te permet de voir à quelles condition (sur ) l'inégalité ci dessus est vérifiée.