Limite d'une suite définie par réccurence

[eric251]

Bonjour :happy2: !

Comme l'indique le titre, j'aimerais savoir comment trouver la limite d'une suite définie par récurrence (particulièrement pour les suites arithmétiques et géométriques).

Il me semble que graphiquement, si on considère Un+1=f(Un), la limite est l'intersection de la fonction f avec la droite d'équation x :hein: .

Voilà, merci d'avance pour votre aide !

[le_fabien]

Bonjour :happy2: !

Comme l'indique le titre, j'aimerais savoir comment trouver la limite d'une suite définie par récurrence (particulièrement pour les suites arithmétiques et géométriques).

Il me semble que graphiquement, si on considère Un+1=f(Un), la limite est l'intersection de la fonction f avec la droite d'équation x :hein: .

Voilà, merci d'avance pour votre aide !

Graphiquement oui c'est ça mais ce n'est pas une preuve ( c'est une conjecture ).
Pour trouver la limite d'une suite définie par récurrence c'est en général plus compliqué, on introduit souvent une suite " Vn "auxiliaire définie en fonction de Un qui sera géometrique ou plus rarement arithmétique.
Après cela il est facile d'exprimer Vn puis Un en fonction de n ....et on pourra trouver la limite de Un. :zen:

[Quidam]

l'intersection de la fonction f avec la droite d'équation x

"Le droite d'équation x" : expression à proscrire ! Il faut dire "la droite d'equation y=x"

Il me semble que graphiquement, si on considère Un+1=f(Un), la limite est l'intersection de la fonction f avec la droite d'équation x

Egalement mal dit ! D'abord "l'intersection du graphe de f avec la droite d'équation y=x" peut être constituée par plusieurs points. Or une limite n'est pas un point, a fortiori pas plusieurs points !

Ce que l'on peut dire, c'est "que si a une limite finie L, alors nécessairement, f(L)=L, ce qui signifie que L est une solution (parmi plusieurs solutions éventuelles) de l'équation f(x)=x, et par suite, que ces solutions sont les abscisses des points d'intersection (pas les points ! les abscisses des points !) non pas de f (qui est une fonction) mais du graphe de f (qui est une courbe) avec la droite d'équation y=x"

Il peut donc arriver que cette courbe et cette droite aient plusieurs points d'intersection (et il faudra chercher si l'une d'entre elles est limite de ; ce n'est même pas certain !). Il peut également arriver que cette courbe et cette droite n'aient pas de points d'intersection, ce qui prouverait que n'a pas de limite finie !

Dans ce cas-là, c'est vrai !