Définition d'une suite convergente

[pierrelouisbourgeois]

Bonsoir,
à propos de la définition d'une suite convergente:



Avant tout, j'ai vu différentes définitions avec des égalités larges, je pense que ça ne change pas grand chose mais laquelle est la plus répandue/utilisée/correcte ?

D'autre part j'ai essayé de montrer que converge vers 0 en utilisant la définition.

J'ai trouvé que que devait être supérieur à .

Mais je me suis demandé ce qu'il se passait s'il on mettait une "mauvaise" limite, par exemple 1/2.
Je me suis dit qu'il y aurait certainement une absurdité mais je trouve que doit être supérieur à et la définition est satisfaite!
Peut-être que je me suis gourré dans les calculs, quelqu'un pourrait-il clarifier la situation svp?
Bonne soirée à vous,
PL

[phyelec]

quelle est la suite sur laquelle vous essayez d'établir la convergence ?

[pierrelouisbourgeois]

La suite qui a tout n>=1 associe 1/n, n entier naturel.

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Comme tu t'en doutes, tu t'es trompé. Pour voir où, tu peux écrire ce que tu as fait ici. Tu t'en apercevras sans doute en l'écrivant.

[pierrelouisbourgeois]

Oups oui je trouve que n doit être inférieur à quelque chose, ce qui ne permet pas d'appliquer la définition. Merci! Et quid de quelle définition choisir? Je trouve ça bizarre qu'il n'y en ai pas une unique mais bon..

[hdci]

Bonjour,
Ce n'est pas une question "d'unicité", mais "d'équivalence". Les définitions avec des inégalités larges ou strictes sont équivalentes.

Exemple : considérons les deux propositions suivantes qui ne diffèrent que par l'inégalité large ou stricte relative à N, que j'appele N1 dans la première et N2 dans la seconde pour éviter toute confusion :
(1) :

(2) :


Si (1) est vraie, alors a fortiori (2) est vrai car si pour tout , a fortiori c'est le cas pour tout car si alors , on peut donc prendre
Si (2) est vraie, alors (1) est vraie également : en effet, il suffit de prendre , car si alors

On traite "de la même façon" avec l'inégalité large ou stricte relativement à epsilon, en prenant par exemple la moitié de epsilon (si on est inférieur ou égal à la moitié de epsilon, on est strictement inférieur à epsilon)

[Vassillia]

Bonsoir,

Petite précision, même si je ne doute pas que ce soit clair pour hdci quand il parle de l'inégalité avec epsilon, j'ai peur qu'il y ait des incompréhensions.

On peut avoir inégalités larges ou strictes pour ou par contre il est indispensable que l'inégalité soit stricte sinon on peut prendre la valeur epsilon=0 et rien que dans l'exemple on divise par epsilon.

En plus c'est intuitif, l'idée de la définition d'une limite c'est que aussi petit que soit alors si on attend suffisamment longtemps , la suite va finir par se rapprocher très très près de sa limite au point que la distance entre la suite et la limite devienne aussi petite que l'on souhaite .
Mais si on choisit epsilon = 0 alors là, c'est fichu car on se rapprochera peut être très très proche mais on ne l'atteindra jamais la limite dans de nombreux cas.

[hdci]

Oui la précision de Vassillia est utile, je pensais bien sûr à vs.

Le epsilon, il est forcément strictement positif puisqu'on "'approche de la limite", mais cela ne signifie pas qu'on "touche la limite".

(*) j'ai modifié le texte car je me suis mélangé entre \geq et \leq en latex, pour les comparaisons larges...)

[pierrelouisbourgeois]

Donc, toutes ces définitions sont équivalentes (en fait 4) et libre à chacun d'utiliser celle de son choix.. Merci beaucoup à vous deux!

[mathelot]

Bonsoir,
à propos de la définition d'une suite convergente:

bonsoir,
pour écrire la négation de cette implication, on change les quantificateurs "il existe" en "pour tout" et les "pour tout" en "il existe".

ce qui donne comme négation ( ne tend pas vers l)