Suite convergente : Classique

[Doraki]

Plus concrètement, on peut montrer que si |un - 1/2 u(2n) - 1| <= ;) pour tout n, et si (un) est bornée,
alors |un - 2/3| <= 2;) pour tout n.

[benekire2]

Oui j'avais bien essayé avec ces deux assertions précisément. Mais je n'y arrive pas, je n'arrive pas a les manipuler correctement.

Doraki, comment fait tu pour montrer ce que tu as écrit ?

[Nightmare]

Tu peux mixer l'indice de Doraki et le mien :

Soit n tel que et .

Essaye de montrer qu'alors . C'est ici qu'on pourra ensuite faire une récurrence.

[Doraki]

Par l'absurde, probablement comme t'as fait avec ta suite de valeurs d'adhérences, mais à ;) près.

oula nightmare, j'pense que t'as une inégalité dans le mauvais sens quelquepart.

[benekire2]

Tu peux mixer l'indice de Doraki et le mien :

Soit n tel que et .

Essaye de montrer qu'alors . C'est ici qu'on pourra ensuite faire une récurrence.

Ta deuxième inégalité est pas dans le mauvais sens ?
Je regarde ..

[Nightmare]

Oui, bien entendu, on suppose et non <

[Nightmare]

Après quelques manipulation, je vois une preuve directe n'utilisant pour théorème que celui de la moyenne de Césaro. Il s'agit simplement d'inverser l'opérateur linéaire.

[benekire2]

Bah, je suis toujours bloqué, je vois pas comment faire entrer l'une dans l'autre (les inégalités) , bref, il y a un truc que je vois pas ou une mini astuce, vraiment, comment faire ?

Sinon, pour ta preuve avec cesaro, qu'appelle tu "inverser l'opérateur linéaire" ?

[Nightmare]

Je parlais du fait d'essayer de passer de la relation linéaire à une relation du type . Mais, pour le moment, ma preuve ne marche en fait pas du tout :lol3:

[benekire2]

Et pour la méthode Lycée, je n'y arrive toujours pas, je n'arrive pas a utiliser les deux inégalités simultanément,

en plus a la fin il faut bien montrer que |u_2n-2/3|<3e ?

[Nightmare]

Non, là l'inégalité était dans le bon sens.

Je te laisse encore chercher, cette étape se fait a priori en une ligne en utilisant l'inégalité triangulaire.

[benekire2]

Ben je me tue a utiliser l'inégalité triangulaire, mais le meilleur truc que j'ai trouvé c'est et je me tue a vouloir montrer que à l'aide de la première inégalité, mais ça passe pas ...

[Doraki]

Pour ma méthode, tu peux commencer par expliquer pourquoi,

si |un - 2/3| > 2;), et |un + 1/2 u(2n) - 1| <= ;), alors |u(2n) - 2/3| > 2;).

Ensuite, regarde si tu peux pas dire un truc plus précis qui permette de compromettre le fait que (un) soit bornée.

[Nightmare]

Essaye de majorer par exemple avec l'inégalité triangulaire.

[benekire2]

Je veut bien le montrer, mais j'y arrive pas. L'inégalité triangulaire là où je voudrais l'appliquer n'est pas dans le bon sens, bref,

Nightmare >> Ok j'essaie

[benekire2]

Essaye de majorer par exemple avec l'inégalité triangulaire.

J'ai via l'inégalité triangulaire. J'obtiens alors le résultat par l'absurde.

Voilà qui est mieux :we:

Maintenant, entre en jeu la récurrence, et je crois qu'on a quelque chose du genre |u_{2^kn}|>3^k\epsilon

[Doraki]

Tu peux mixer l'indice de Doraki et le mien :

Soit n tel que et .

Essaye de montrer qu'alors . C'est ici qu'on pourra ensuite faire une récurrence.

Ah oui ? si je prends un = 2/3+(3/2);) et u(2n) = 2/3-2;),
j'ai |2un + u(2n) - 2| = |4/3+3;)+2/3-2;)-2| = ,
|un - 2/3| = (3/2);) > ,
mais |u(2n)-2/3| = 2;) < 3;)

[Nightmare]

Oui j'étais parti sur pour obtenir une minoration par 3epsilon, cela revient de toute façon au même, pas besoin de chipoter pour si peu :lol3: