Définition du Point d'inflexion

[poupettedu71]

Bonsoir tout le monde!!
Je bloque sur un début d'exercice et ça m'handicape beaucoup. Je voulais savoir s'il n'y aurais pas une âme bien veilllante pour m'aider. Voila l'énoncé :

Le but de l'exercice est d'étudier à quelle condition une courbe f est traversée par sa tangente (un tel point est appelé point d'inflexion).
Soit f et sa dérivée f', sa dérivée seconde f'' et sa tangente T au point a(a;f(a)). g(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)

je voulais savoir comment justifier que g est deux fois dérivable et comment calculer g' et g''?

[aeon]

As-tu montré que g(x) est dérivable ? as-tu calculé g'(x) ?

[poupettedu71]

Non justement c'est ce que je cherche.

[aeon]

Est-ce que tu sais à quelle condition une fonction est dérivable ?
Est-ce que tu sais dériver une fonction ?

Parce que si vous n'avez pas vu ça en cours, ce n'est pas la peine de poursuivre l'exo...

[poupettedu71]

je connais pas les conditions mais je sais dériver des fonctions

[aeon]

Alors je vais faire un petit rappel :

- Soit g(x) = u(x) + v(x), si u et v sont dérivables (dans l'intervalle qui va bien) alors g est dérivable et sa dérivée vaut g'(x) = u'(x) + v'(x)

- Si f(x) est dérivable 2 fois sur IR, alors f'(x) est dérivable (1 fois) sur IR.

Avec ça, tu doit réussir à faire au moins la première partie de la première question.

[poupettedu71]

On sait que f(x) est dérivable. Mais comment montrer que -f(a)-f'(a)(x-a) est dérivable?

[aeon]

Dans l'exercice, on a fixé a. Ce qui veut dire que l'énoncé ne précise pas quelle est la valeur de a, mais en tout cas, on sait que c'est une constante. Donc f(a) et f'(a) sont aussi des constantes.

Dit autrement : lorsqu'on dérive par rapport à x, a est une constante.

Rappel : une constante est dérivable et sa dérivée vaut 0.

[poupettedu71]

donc je trouve g'(x)=f'(x)
g''(x)=f''(x).
C'est ça?

[aeon]

Ce serait trop simple...

g'(x) = ( f(x)-f(a)-f'(a)(x-a) )'
= f'(x) - ( f'(a) * (x-a) )'

or ( u * v )' = u' * v + u * v'

d'où

g'(x) = f'(x) - ( 0 * (x-a) + f'(a) * 1)
= f'(x) - f'(a)

Je te laisse poursuivre.

note : on pouvait aussi utiliser la formule "si K est une constante, ( K * u )' = K * u' ". On peut voir que ça donne le même résultat.

[poupettedu71]

Je vous remercie beaucoup! je n'aurais pas pu trouver seule. Pour la suite seriez-vous toujours disponible pour une éventuelle petite aide?