Sulaheia a écrit:Bonjour,
J'ai encore une question sur une justification dans un exercice
On considère les points A(1;2;1) et B(4;6;3) et les vecteurs
)
et
)
.
1 - Démontrer que le point A et les vecteurs
et
définissent bien un plan.
2 - Démontrer que
est normal à ce plan.
Pour la
question 1, j'aurais tendance à juste dire que les coordonnées des deux vecteurs ne sont pas proportionnelles (donc ils ne sont pas colinéaires, donc tout le monde est content).
Mais ça me semble léger vu que la question dit "démontrer" (et pas "justifier" ou "vérifier"). Aussi, j'ai totalement ignoré le point A, mais je ne vois pas tellement quoi en faire
.
Est-ce que quelqu'un a un avis sur cette réponse ?Pour la question 2 pas de soucis, les produits scalaires font bien 0.
Merci !
Salut Sulaheia,
Le truc est le suivant: si on a deux vecteurs non colinéaires (comme ici), alors on définit un ensemble de plans parallèles qui ont tous même vecteur normal (à constante multiplicative près).
Le fait de rajouter un point permet de choisir parmi cette infinité de plans parallèles, celui qui contient ce point: fais l'analogie avec les équations de droites y=mx+p. Je te donne m cela définit un ensemble de droites parallèles, et si en plus je te donne un point, tu fixes la droite de manière unique.
Maintenant, pour le voir par le calcul, on commence par trouver un vecteur orthogonal aux deux vecteurs u et v simultanément: soit n(a;b;c) tel que u.n=0 et v.n=0
Donc: -2a+b+c=0 et -b+2c=0
Tu constates que nous avons trois inconnues mais seulement deux équations. C'est logique! Car géométriquement on voit bien qu'il y a une infinité de vecteurs normaux donc ici on devrait aussi en trouver plusieurs. Ce n'est donc pas grave on peut quand même exprimer toutes ces inconnues en fonction de c:
c=c
b=2c
a=(b+c)/2=3c/2
Donc n est toujours de la forme (3c/2;2c;c)
avec c un certain nombre. Cela veut aussi dire que tous les vecteurs n sont colinéaires.
Quand c = 2, n(3;4;2) qui est ton vecteur AB!
Mais aussi, la nécessité de donner le point A: si je te donne seulement u et v tu peux me trouver un vecteur normal par exemple n(3;4;2) avec la méthode que je t'ai montréé donc tu peux me dire que le plan aura une équation cartésienne: 3x+4y+2z+d=0 mais pas plus.
Tu as donc besoin d'un point (x;y;z) de ce plan afin d'expliciter d (analogie avec l'ordonnée à l'origine de la droite y=mx+p)
Ps: vu que j'ai récemment eu un cours de géométrie affine.. ben je me rends compte que j'ai du mal à expliquer certains détails sur les "vecteurs" vs "les représentants de ces vecteurs"/quotient de l'espace par des directions...
