Décomposition en somme de cubes

[kadaid]

Re Bonjour
Je n'avais pas donné de titre à mon sujet alors que je l'ai posté!

Le nombre 40 est la somme de 4 cubes: 40=4^3 - 2^3 -2^3 -2^3
On veut savoir si 40 est la somme de 3 cubes
1°) Compléter le tableau de congruence:


2°) En déduire du tableau que n^3 est congru mod 9 soit à -1, soit à 0, soit à -1.
Prouver que 40 ne peut pas être décomposé en somme de 3 cubes

1°) Aucun problème, tout est clair!
2°) je ne vois pas du tout la démarche!
Merci pour une aide.

[henryallen]

Bonjour,

1°) Ne manquerait-il pas un "-" pour le 2 ?

2°) A quoi est congru 40 modulo 9 ? De plus, si un cube est congru à -1, 0 ou 1 modulo 9, à quoi peut donc être congrue la somme de trois cubes ? En répondant à ces deux questions, vous devriez comprendre la démarche.

Bonne journée.

[kadaid]

Oui, 2^3 = 8[9] = -1[9]
40 = 4[9]

à quoi peut donc être congrue la somme de trois cubes ?

à -3 ou 0 ou 3

Cela veut dire que puisque 4 est différent de " -3 ou 0 ou 3" donc:
40 ne peut pas être décomposé en somme de 3 cubes

[henryallen]

Pas exactement, la somme de trois cubes peut aussi, par exemple, être congrue à 1 modulo 9 (si deux des cubes sont congrus à 0 et l'autre à 1 par exemple).

La somme de trois cubes peut être congrue, modulo 9, à -3, 0 ou 3, mais aussi 1, 2, -1 et -2.

En revanche l'idée est bien là: en effet, si 40 s'écrivait comme somme de trois cubes, alors notamment 40 et cette somme seraient congrus modulo 9, ce qui, on vient de le voir, n'est pas possible.

Donc on aboutit à la conclusion souhaitée.

[kadaid]

Je tente une notation:
4 n'est pas dans l'intervalle des entiers [-3;3]
Même si cette notation n'est pas exacte ça fait rien j'ai compris l'essentiel !
Merci pour tout.