Somme des carrés et des cubes!

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(Re)Bonjour! J ai fini un ennocé mais le resultat ne correspond pas...

Développer (k+1)³. En donnant à k les valeurs 1², 2², ..., n² et en additionnant calculer An= 1²+2²+...+n² Comment pourrait on calculer Bn=1³+2³+…+n³ ?

Voila ce que j ai fait:

Sn= n(n+1)/2

(k+1)³= k³+3n²+3n+1


(n+1)³ = n³ + 3n² + 3n +1
n³ = (n-1)³ + 3(n-1)² + 3(n-1) +1
(n-1)³ = (n-2)³ + 3(n-2)² + 3(n-2) +1
…
2³ = 1³ + 3.1² + 3.1 +1
1³= 0³ + 3.0² + 3.0 +1

On fait la somme et on obtient:

Somme des cubes ->(jusquà) n+1 = Somme des cubes -> n + 3(sommes des carrés) + 3(sommes des nombres) +n

est ce que sommes des cubes jusqu à n+1 - somme des cubes jusqu à n = (n+1)³ ??

[webnet]

Et quand j isole la somme des carrés que je calcule en fonction des autres je trouve différent de n(n+1)(2n+1)/6 soit le numérateur développé 2n³ + 3n² + n Je trouve en plus un +2 Pourquoi? merci

[bdupont]

salut webnet,
Ton erreur vient de la mauvaise interprétation que tu donnes à la somme des (k+1)^3.
Ce n'est pas la somme des n+1 premiers termes mais la somme des n+1 premiers termes moins 1. Si tu démarres à k=1 tu vois bien que la somme démarre à 2^3 et que le 1 n'y figure pas.

[webnet]

Merci j ai vu plus clair! j ai mal remplacé!

[haydenstrauss]

regarde a partir du 47 :


http://www.sciences.ch/htmlfr/algebre/algebresuitesseries01.php#seriedegauss