oui , effectivement,
ben voilà c'est fait, entièrement avec des outils lycée !!
merci Ben !!
Je rédige la démo ( dont j'ai effacé la première partie en éditant ce matin !! )
[TS+] Convergence vers 1/e
34 messages
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par benekire2 » 23 Fév 2010, 14:02
Par de simples études de fonctions, on à facilement l'inégalité suivante, valable pour tout x positif :
 \le x \le (1+x)ln(1+x))
en posant
on obtient :
 \le \frac{1}{k} \le (1+\frac{1}{k})ln(1+\frac{1}{k}))
En multipliant par k positif :
 \le 1 \le (k+1)ln(1+\frac{1}{k}))
En sommant de k=1 jusqu'à n :
^k] \le n \le \Bigsum_{k=1}^{n}ln[(1+\frac{1}{k})^{1+k}])
Par croissance de l'exponentielle :
^k]} \le e^n \le e^{\Bigsum_{k=1}^{n}ln[(1+\frac{1}{k})^{1+k}]})
que l'on réécrit:
^k])} \le e^n \le e^{ln(\Bigprod_{k=1}^{n}[(1+\frac{1}{k})^{k+1}])})
ou encore :
^k] \le e^n \le \Bigprod_{k=1}^{n}[(1+\frac{1}{k})^{k+1}])
Soit après réduction :
^n}{n!} \le e^n \le \frac{(n+1)^{n+1}}{n!})
Edit : Ca a planté sur les sigmas en exposants ... normal quoi ...
Alors on réécrit cela encore sous la forme :
^n \le n!e^n \le (n+1)^{n+1})
On divise par e^n :
}{e})^n \le n! \le (n+1)(\frac{(n+1)}{e})^n)
On passe à la racine n-ième :
}{e} \le (n!)^{\frac{1}{n}} \le (n+1)^{\frac{1}{n}}\frac{(n+1)}{e})
Enfin divisons par n :
}{e} \le \frac{(n!)^{\frac{1}{n}}}{n} \le (n+1)^{\frac{1}{n}}\frac{(1+\frac{1}{n})}{e})
Par passage à la limite en l'infini il vient que^{\frac{1}{n}}}{n})
tend vers 1/e
En effet:
^{\frac{1}{n}})
tend vers 1 en l'infini.
en posant
En multipliant par k positif :
En sommant de k=1 jusqu'à n :
Par croissance de l'exponentielle :
que l'on réécrit:
ou encore :
Soit après réduction :
Edit : Ca a planté sur les sigmas en exposants ... normal quoi ...
Alors on réécrit cela encore sous la forme :
On divise par e^n :
On passe à la racine n-ième :
Enfin divisons par n :
Par passage à la limite en l'infini il vient que
En effet:
par benekire2 » 23 Fév 2010, 14:21
Il me semble que en terminale pour justifier que ça tend vers 1 il suffit de dire que l'exposant tend vers 0 ?
par Ben314 » 23 Fév 2010, 14:26
Non, car ce qu'il y a dans la parenthèse tend vers l'infini et la forme (infini)^0 est indéterminée (en prenant le log ça fait 0xln(infini)=0xinfini).benekire2 a écrit:Il me semble que en terminale pour justifier que ça tend vers 1 il suffit de dire que l'exposant tend vers 0 ?
Par exemple, que vaut la limite de
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par benekire2 » 23 Fév 2010, 14:32
par passage au ln je trouve que ça tend vers e ... en effet, tu as raison
par benekire2 » 23 Fév 2010, 14:36
Et oui trop de vitesse = trop mal fait !!
donc il fallait faire je suppose :
ln(n+1)^(1/n)=ln(n+1)/n= ln(1+1/n)/n+ln(n)/n
les deux tendent vers 0 et par passage à l'exponentielle, la limite vaut bien 1.
donc il fallait faire je suppose :
ln(n+1)^(1/n)=ln(n+1)/n= ln(1+1/n)/n+ln(n)/n
les deux tendent vers 0 et par passage à l'exponentielle, la limite vaut bien 1.
par Ben314 » 23 Fév 2010, 14:38
Oui, c'est une des méthodes possibles.
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par benekire2 » 23 Fév 2010, 14:41
Ben314 a écrit:Oui, c'est une des méthodes possibles.
Comment tu aurais fais toi ?
par Ben314 » 23 Fév 2010, 14:55
Par exemple un autre méthode consiste à écrire à la fin que :
ln(n+1)/n = ln(n+1)/(n+1) x (n+1)/n -> 0x1 = 0
ce qui évite d'utiliser la formule ln(axb)=ln(a)+ln(b)
Mais ça change pas grand chose...
ln(n+1)/n = ln(n+1)/(n+1) x (n+1)/n -> 0x1 = 0
ce qui évite d'utiliser la formule ln(axb)=ln(a)+ln(b)
Mais ça change pas grand chose...
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par benekire2 » 23 Fév 2010, 14:58
Ben314 a écrit:Par exemple un autre méthode consiste à écrire à la fin que :
ln(n+1)/n = ln(n+1)/(n+1) x (n+1)/n -> 0x1 = 0
ce qui évite d'utiliser la formule ln(axb)=ln(a)+ln(b)
Mais ça change pas grand chose...
Ouais c'est vrai, en temps de crise ça économise un peu d'encre ...
par Ben314 » 23 Fév 2010, 15:03
Au moins "deux parenthèses et un exposant" !!!!! :zen:benekire2 a écrit:Ouais c'est vrai, en temps de crise ça économise un peu d'encre ...
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par benekire2 » 23 Fév 2010, 15:07
Ben314 a écrit:Au moins "deux parenthèses et un exposant" !!!!! :zen:
AU moins ^^ :zen:
par Nightmare » 23 Fév 2010, 16:38
Bof, ta preuve est autant de niveau term que celle de Ben,l'encadrement de ln n'est pas une chose acquise en terminale.
par benekire2 » 23 Fév 2010, 16:56
j'avoue que c'est limite mais au moins c'est au programme dans le sens où on a pas besoin de théorèmes bac+ .
Par contre t'as raison sur le fait que c'est pas forcément acquis en terminale.
Par contre t'as raison sur le fait que c'est pas forcément acquis en terminale.
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