[TS+] Convergence vers 1/e

[benekire2]

Bonsoir, tout à l'heure je regardais les suites qui converge vers pi, ou e et je suis tombé sur celle ci :



qui converge vers 1/e

Il me semble que la démonstration est abordable au niveau lycée, si quelqu'un sait comment procéder, peut-il me le dire?

Merci :id:

[benekire2]

Up :ruse:

[Skullkid]

Salut, tu es sûr que la démo est niveau lycée ? J'ai pas vraiment cherché à poser les calculs, mais comme ça mélange des factorielles et des puissances qui dépendent de n, ça me semble difficile de s'en sortir qu'avec des méthodes de lycée...

En méthode bulldozer y a la formule de Stirling, qui donne le résultat assez facilement.

[Nightmare]

Une méthode presque abordable niveau lycée :

et on reconnait presque une somme de Riemann (bon en fait il faut justifier que ça converge vers et c'est effectivement loin d'être de niveau term, même pas sup a priori)

[Ben314]

Salut,
Je suis pas certain que l'on ait besoin de "la formule de stirling en entier", mais seulement du début...
Il me semble que le théorème suivant :
[quote] Si une suite de réels strictement positifs Un est telle que
U(n+1)/Un tend vers L alors :
- Si L>1 alors Un tend vers l'infini
- Si L0 fixé, quoicéti qu'on trouve ....
Il me semble que c'est suffifant pour trouver la limite de Benekire (sinon, on peut raffinner le théorème ci dessus pour traiter le cas L=1 et les sous cas selon l'équivalent de ( U(n+1)/Un - 1 ) mais ça fait nettement moins "terminale"...)

EDIT : je confirme qu'il n'y as pas besoin de plus que le théorème ci dessus pour trouver la "limite de Benekire".

[Zweig]

c'est effectivement loin d'être de niveau term, même pas sup a priori)

Si si, c'est niveau Sup, je les ai vues cette année (démos à l'appui), même la formule plus générale des Sommes de Riemann, avec les sigma et tout.

[benekire2]

Je reste même totalement convaincu qu'il existe une preuve entièrement niveau TS ( bon niveau quand même)

Je continue de chercher ...

[benekire2]

On réécrit (si je ne me suis pas trompé) :


Ça y est c'est mieux comme ça, il me semble que l'on peut se servir de ça ... mais comment ? Je cherche encore...

[Nightmare]

Si si, c'est niveau Sup, je les ai vues cette année (démos à l'appui), même la formule plus générale des Sommes de Riemann, avec les sigma et tout.

Je maintiens que ce n'est pas au programme au sens où ln n'est pas définie partout sur [0,1], ce n'est donc pas une vraie somme de Riemann et il faut donc justifier la convergence de la somme vers l'intégrale et ce n'est pas trivial.

[Ben314]

benekire, la preuve que je t'ais proposé ne te convient pas ? :cry:
(je peut détailler, mais telle quel, tu devrait trouver...)

[benekire2]

J'avais même pas vu ... :triste:

Oui elle convient, mais c'est pas un théorème de TS si je ne m'abuse ?

Enfin, moi je recherche THE preuve totalement niveau Lycée...

[Nightmare]

L'exercice n'est pas de niveau TS. Par contre, on peut le résoudre en utilisant seulement le outils de TS, Cf l'esquisse de preuve de Ben.

:happy3:

[benekire2]

certes, il n'est pas de niveau TS, mais je suis convaincu qu'il existe une preuve plus simple que celle du ben ,

d'ailleurs mon début de raisonnement qui aboutit à une inégalité je reste persuadé qu'il peut mener à la démo.

[Nightmare]

Comment en être si persuadé? As-tu vu une démonstration du calcul de cette limite qui commençait ainsi?

[benekire2]

Ben passé un temps en fouillant sur le net il y a de ça quelques temps, je crois avoir vu une preuve élémentaire, que j'avais compris, donc ça suppose au maximum que la preuve était de niveau début de sup.

[benekire2]

On réécrit (si je ne me suis pas trompé) :


Ça y est c'est mieux comme ça, il me semble que l'on peut se servir de ça ... mais comment ? Je cherche encore...

PS: J'ai fais le con, j'ai modifié tout le message d'avant ... merde !

[Ben314]

Bon, comme tu fait le sceptique, je te fait la preuve complète :

Théorème : Si une suite de réels strictement positifs est telle que le rapport tend vers un réel alors :
- Si alors tend vers l'infini
- Si alors tend vers 0.
- Si alors tend vers l'infini.
Preuve :

Or,
donc et on conclue à l'aide du théorème

Application de l'application : La suite tend vers
Preuve :
Choisissons deux réels et tels que . On sait (application) que tend vers l'infini et que tend vers 0 et on en déduit que, pour n assez grand, c'est à dire et donc
Cela montre bien que tend vers (définition d'une limite)

[benekire2]

Oui effectivement la preuve est bien :we:

Je viens à l'instant de me rendre compte que quand j'avais fait u(n+1)/u(n) et bien j'avais pas remplacé tout les n par n+1 ... sick

Néanmoins (têtu comme trois mules) je vais essayer de conclure ma preuve avec l'encadrement .. même si j'ai pas l'impression que ça va débouché sur quelque chose!

[benekire2]

Je fais appel à vous ...

Je sais maintenant que :



Je voudrais savoir quel est la forme la plus simplifiée de ces deux produits ?


Est-ce que c'est :



Ou peut-on faire mieux ?

[Ben314]

Ta preuve fonctionne parfaitement bien:

On montre que en partant du fait que sur (que l'on démontre faisant les tableaux de variations des différences)

On en déduit effectivement que qui signifie que et que
Il ne reste plus qu'a montrer que tend vers 1 à l'aide du logarithme et de l'exponentielle...