Convergence d'une suite bornée par une variable

[SeifMaths]

J'ai besoin de votre aide dans cette question:

En déduire que S est convergente et encadrer sa limite l.

Dans la question précédente, j'ai montré que (1/2) - (1/[2n²]) <= Sn <= (3/2) - (1/[2n²])
Reste des données: n>=1
S est croissante.



Est ce qu'il est possible de déduire la convergence si une suite est monotone et bornée par une variable?

[zygomatique]

salut

que font les extrêmes quand n tend vers l'infini ?

[Ben314]

Salut,

Est ce qu'il est possible de déduire la convergence si une suite est monotone et bornée par une variable?

C'est un peu "mal formulé", mais suffisamment clair pour que la réponse soit sans ambiguïté : NON, tu ne peut pas.
Et pour s'en convaincre, il suffit de se dire que, si on te demande de majorer Un par n'importe quoi, y compris un truc qui dépend de n, alors c'est pas la peine de se faire chier, il suffit d'écrire que Un <= Un (ou bien que Un < 1+Un) pour avoir une majoration qui, bien évidement, ne sert absolument à rien et ne risque pas d'aider à montrer quela suite est convergente vu que la majoration en question est valable pour absolument n'importe quelle suite.

Bref, il faut absolument que tu majore par une constante pour pouvoir appliquer le résultat bien connu sur les suites croissantes (et c'est pas bien sorcier ici vu ce que tu as déjà démontré).

EDIT :
@zygo :désolé, j'ai pas vu ton message. Mais comme ça se complète avec le mien...

[SeifMaths]

salut

que font les extrêmes quand n tend vers l'infini ?

Je sais qu'il y a deux suites de raison entre 1 et -1 qui s'annulent en +
et qu'on obtient un encadrement de L à + d'après l'encadrement initial, mais je me rappelle que mon prof m'a dit qu'on ne peut passer directement comme ça vers la limite que si les deux constantes soient égales, or elle ne sont pas égales ici
Merci pour vos réponses, j'attends une clarification de votre part car l'histoire de convergence est un peu floue chez moi
EDIT: J'ai ajouté l'énoncé complet

[chan79]

salut
Tu devrais mettre ton texte en entier.

[capitaine nuggets]

Salut !

Ici on te demande d'en déduire la convergence de la suite , puis d'encadrer la limite de cette suite.
Donc la question à se poser : pourquoi la suite converge-t-elle ?
(Tu as fait tout ce qu'il faut aux questions précédentes).
Enfin, comme tu l'as dis,

[SeifMaths]

Salut !

Ici on te demande d'en déduire la convergence de la suite , puis d'encadrer la limite de cette suite.
Donc la question à se poser : pourquoi la suite converge-t-elle ?
(Tu as fait tout ce qu'il faut aux questions précédentes).
Enfin, comme tu l'as dis,

Donc il suffit de passer à la limite et dire que Sn est croissante pour déduire la convergence?

[capitaine nuggets]

Tu peux passer à la limite mais cela ne justifie pas la convergence de la suite. Pour justifier qu'une suite de réels converge, il suffit par exemple de montrer que cette suite est croissante (resp décroissante) et majorée (resp. minorée).

[SeifMaths]

Tu peux passer à la limite mais cela ne justifie pas la convergence de la suite. Pour justifier qu'une suite de réels converge, il suffit par exemple de montrer que cette suite est croissante (resp décroissante) et majorée (resp. minorée).

J'ai trouvé que (3-2) - (1/2n²) >= 1 mais je n'ai pas pu trouver le majorant, donc dans ce cas est il possible de dire directement que (3/2) >=(3-2) - (1/2n²) >= Sn ?

[chan79]

tu as
et S est croissante

[SeifMaths]

tu as
et S est croissante

D'accord merci